§ 3. Теорема о трёх перпендикулярах

Определения и обозначения

Наклонная к плоскости — прямая, которая пересекает плоскость, но не образует с ней прямого угла. Обычно её рассматривают как отрезок от точки вне плоскости до точки в плоскости. Это понятие позволяет отличать такой отрезок от перпендикуляра, опущенного из той же точки.

Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание наклонной с основанием перпендикуляра, опущенного на плоскость из её верхнего конца. Например, если AH ⟂ α, а AB — наклонная, то проекция AB — это HB. Она показывает, какую часть наклонной можно увидеть в самой плоскости.

Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°. В пространстве они могут быть скрещивающимися: тогда через точку одной прямой проводят прямую, параллельную другой, и проверяют угол между пересекающимися прямыми. Такое определение нужно, потому что прямые в пространстве не всегда имеют общую точку.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность прямой в плоскости с перпендикулярностью этой прямой наклонной. В теореме участвуют сама наклонная, её проекция и прямая плоскости. Благодаря этому можно заменить проверку угла с наклонной более удобной проверкой угла с её проекцией.

Как это устроено

Представь плоскость α и точку A над ней. Опусти из A перпендикуляр AH к плоскости, а затем проведи наклонную AB, которая пересечёт плоскость в B. Точки H и B принадлежат α, поэтому отрезок HB лежит в этой плоскости и служит проекцией AB. Треугольник AHB прямоугольный при H: AH перпендикулярен каждой прямой плоскости, проходящей через H, в том числе HB.

Теорема утверждает: если прямая l лежит в α и перпендикулярна HB, то l перпендикулярна AB. Обратное утверждение тоже верно: из l ⟂ AB следует l ⟂ HB. Причина в том, что перпендикуляр к плоскости AH уже перпендикулярен l, а проекция HB показывает направление наклонной внутри плоскости. Если l образует прямой угол с этим направлением, то она перпендикулярна и направлению самой наклонной.

Идею доказательства можно увидеть через перенос параллельной прямой. Через B проводят прямую, параллельную AH; она перпендикулярна плоскости α и, значит, перпендикулярна l. Вместе с отрезком AB такая конструкция позволяет применить признак перпендикулярности прямых в пространстве: направление AB складывается из направлений проекции HB и перпендикуляра AH. Прямой угол с проекцией и с перпендикуляром даёт прямой угол с наклонной.

В задаче сначала обозначь плоскость и найди перпендикуляр, опущенный на неё. Затем распознай наклонную и соедини её основание с основанием перпендикуляра — так определяется проекция. После этого выдели третью прямую, лежащую в плоскости, и проверь, какая пара перпендикулярна по условию. Этот порядок не даёт перепутать проекцию с наклонной или применить теорему не к той плоскости.

Если известно, что прямая в плоскости перпендикулярна проекции, применяй прямое утверждение и заключай, что она перпендикулярна наклонной. Если в условии дана перпендикулярность к наклонной, используй обратное утверждение и переноси её на проекцию. В обоих случаях сначала проверь, что проекция построена из оснований наклонной и перпендикуляра. В прямоугольном треугольнике AHB дополнительно можно найти длины по теореме Пифагора.

Связь наклонной, её проекции и прямой в плоскости

Используй таблицу как короткий алгоритм: найди условие в первом столбце, затем прочитай вывод во втором. В третьем столбце указано, что нужно проверить до применения теоремы. Длины сторон прямоугольного треугольника рассматривай отдельно от вывода о перпендикулярности.

Разбор задач

Задача 1. Из точки A вне плоскости α опущен перпендикуляр AH и проведена наклонная AB с основанием B. Прямая l лежит в α, проходит через H и перпендикулярна HB. Докажите, что l ⟂ AB.

1. AH ⟂ α, поэтому H — основание перпендикуляра, а B — основание наклонной AB.
2. Значит, отрезок HB, соединяющий H и B, является проекцией наклонной AB на α.
3. По условию l лежит в α и l ⟂ HB. По теореме о трёх перпендикулярах l ⟂ AB.

Ответ: l ⟂ AB.

Задача 2. В плоскости α лежит прямая l. Из точки A вне плоскости опущен перпендикуляр AH, а AB — наклонная с основанием B. Известно, что l ⟂ AB. Докажите, что l ⟂ HB.

1. Поскольку AH ⟂ α, точка H является основанием перпендикуляра к плоскости.
2. Точки H и B лежат в α, поэтому HB — проекция наклонной AB.
3. По условию прямая l, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной AB. Применяем обратное утверждение теоремы о трёх перпендикулярах: тогда l ⟂ HB.

Ответ: l ⟂ HB.

Задача 3. Точка H — основание перпендикуляра из A к плоскости β, точки B и C лежат в β. Известно, что AH = 6, HB = 8 и BC ⟂ HB. Докажите, что BC ⟂ AB, и найдите AB.

1. Так как AH ⟂ β, а HB лежит в β, HB является проекцией наклонной AB.
2. Прямая BC лежит в β и по условию перпендикулярна HB. По теореме о трёх перпендикулярах BC ⟂ AB.
3. В треугольнике AHB угол при H прямой. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB² = 6² + 8² = 100, поэтому AB = 10.

Ответ: BC ⟂ AB, AB = 10.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать проекцией сам отрезок AB. Так думают, потому что наклонная соединяет точку вне плоскости с точкой в ней. Но её проекция — HB, то есть отрезок между основанием наклонной и основанием перпендикуляра. Для проверки отметь на чертеже обе точки-основания и соедини именно их.

Ошибка: применить теорему, не проверив расположение прямых. Недостаточно увидеть на чертеже наклонную и прямую, похожую на её проекцию. Теорема требует, чтобы прямая лежала в рассматриваемой плоскости, а проекция была построена по основаниям наклонной и перпендикуляра. Проверь эти условия по обозначениям и условию задачи.

Ошибка: перенести перпендикулярность с проекции на наклонную без обоснования. Обычно такое заключение кажется очевидным по рисунку, но проекция и наклонная — разные прямые. Укажи теорему о трёх перпендикулярах, а для обратного перехода — её обратное утверждение. Это сразу показывает, почему вывод допустим.

Ошибка: считать, что одного пересечения прямой с наклонной достаточно для перпендикулярности. Пересечение само по себе не задаёт угол 90°, хотя на схеме линии могут казаться перпендикулярными. Для применения теоремы нужна перпендикулярность прямой в плоскости проекции наклонной. Проверь именно это условие или используй обратное утверждение, если известен прямой угол с наклонной.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно знать, что означает перпендикулярность прямой плоскости, уметь строить ортогональную проекцию и применять признаки перпендикулярности прямых. Сама теорема помогает доказывать перпендикулярность в пространстве и встречается в задачах на расстояния и углы. Её связь с прямоугольным треугольником позволяет находить длины: если AH ⟂ α, то AB² = AH² + HB².

Что запомнить

• Проекция наклонной соединяет основания наклонной и перпендикуляра к плоскости.
• Прямая в плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна наклонной.
• Утверждение верно и в обратную сторону.
• Перед применением теоремы обозначь плоскость, наклонную и её проекцию.
• Перпендикуляр к плоскости, наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник.