"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Перпендикулярность прямой и плоскости помогает описывать взаимное положение объектов в пространстве и находить расстояния. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Чтобы доказать это, достаточно проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости. Свойства параллельных прямых и плоскостей позволяют переносить уже установленную перпендикулярность без повторного применения критерия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения прямой и плоскости. Обозначение: a ⟂ α. Иными словами, прямая входит в плоскость под прямым углом во всех направлениях, которые можно провести в плоскости через точку пересечения. Это определение помогает отличить перпендикулярность всей плоскости от прямого угла с одной отдельной прямой.
Перпендикуляром к плоскости называют отрезок прямой, проведённый из точки к плоскости перпендикулярно ей. Его конец лежит в плоскости, а второй конец совпадает с исходной точкой. Такое построение нужно, когда требуется соединить точку с плоскостью кратчайшим отрезком. Полную прямую, содержащую этот отрезок, также считают перпендикулярной плоскости.
Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость. Именно в этой точке заканчивается перпендикуляр, опущенный из заданной точки. Основание позволяет точно указать, к какой точке плоскости проведён отрезок. Оно также служит началом отсчёта расстояний в задачах о проекциях и пространственных фигурах.
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Другие отрезки от исходной точки до точек плоскости длиннее или равны ему. Поэтому для нахождения расстояния нужно построить именно перпендикуляр, а не выбрать произвольный отрезок к плоскости. Это определение превращает задачу о расстоянии в задачу о длине конкретного отрезка.
Критерий перпендикулярности позволяет заменить проверку бесконечного числа прямых плоскости проверкой только двух. Выбери в плоскости две пересекающиеся прямые, например p и q, и докажи, что заданная прямая перпендикулярна каждой из них. Поскольку p и q пересекаются, они задают в плоскости два независимых направления. По критерию этого достаточно, чтобы установить перпендикулярность прямой всей плоскости.
Если a ∥ b и a ⟂ α, то b тоже перпендикулярна α. Параллельные прямые имеют одно направление: перенос одной прямой параллельно самой себе совмещает её направление с направлением другой, не меняя углов с прямыми плоскости. Поэтому b образует с направлениями в α такие же прямые углы, как a. Это свойство удобно, когда перпендикулярность одной прямой уже известна, а в доказательстве фигурирует параллельная ей прямая.
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой. У всех прямых, перпендикулярных одной плоскости, одно и то же направление — направление перпендикуляра к этой плоскости. Если бы две такие прямые пересекались, через точку пересечения проходили бы две прямые одного направления, то есть они совпали бы. Следовательно, разные прямые не пересекаются и имеют общее направление, а значит, параллельны.
Пусть α и β — параллельные плоскости, а прямая c перпендикулярна α. Тогда c перпендикулярна и β. В параллельных плоскостях соответствующие направления совпадают: прямая одной плоскости параллельна некоторой прямой другой. Поскольку c перпендикулярна всем направлениям α, она перпендикулярна и направлениям β, а значит, всей плоскости β. Для переноса перпендикулярности здесь необходимо сначала знать, что плоскости действительно параллельны.
Эти свойства позволяют переносить уже доказанное положение на новые объекты. Например, вместо повторной проверки двух пересекающихся прямых можно воспользоваться параллельностью прямых или плоскостей. Сначала проверь, что условие нужного свойства выполнено, и только потом записывай вывод. Такой порядок сокращает доказательство, но не отменяет необходимость обосновать исходную перпендикулярность.
| Условие | Вывод | Что позволяет установить |
|---|---|---|
| Одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости | Вторая прямая тоже перпендикулярна этой плоскости | Перенести перпендикулярность между параллельными прямыми |
| Две прямые перпендикулярны одной плоскости | Прямые параллельны между собой | Установить взаимное положение прямых |
| Две плоскости параллельны, а прямая перпендикулярна одной из них | Прямая перпендикулярна и другой плоскости | Перенести перпендикулярность на параллельную плоскость |
Сначала найди в таблице условие, совпадающее с данными задачи, затем используй соответствующий вывод. Не меняй местами условие и вывод: например, параллельность прямых сама по себе не доказывает их перпендикулярность какой-либо плоскости. Если условие подходит не полностью, нужное свойство применять нельзя.
В пространстве даны параллельные прямые a и b. Известно, что a перпендикулярна плоскости α. Докажите, что b перпендикулярна α. Здесь не требуется заново проверять прямые плоскости: достаточно сопоставить условие с одним из свойств. Обрати внимание, что в задаче даны именно параллельные прямые.
Ответ: b перпендикулярна плоскости α. Обоснование работает потому, что параллельность сохраняет направление прямой, а значит, угол с плоскостью не меняется. Если бы было известно только, что прямые не пересекаются, этого ещё не хватило бы: в пространстве они могли бы быть скрещивающимися.
Прямые a и b перпендикулярны плоскости α. Нужно определить их взаимное положение и обосновать ответ. Важно не предполагать, что всякие перпендикулярные прямые должны пересекаться: здесь речь идёт о прямых, перпендикулярных одной плоскости. Их направление связано с общей плоскостью.
Ответ: a ∥ b. Если прямые совпадают, их также можно считать имеющими одно направление; в обычной формулировке свойства рассматривают две различные прямые. Доказательство не требует искать точку их пересечения. Оно основано на том, что обе прямые направлены одинаково — перпендикулярно α.
Плоскости α и β параллельны, прямая c перпендикулярна α. Докажите, что c перпендикулярна β, и рассмотрите случай, когда c параллельна прямой, перпендикулярной β. Здесь есть два пути к выводу: прямое применение свойства параллельных плоскостей и перенос через параллельную прямую. Сравнение этих путей помогает не смешивать разные условия.
Ответ: в обоих случаях c ⟂ β, но основания разные. В первом случае используют параллельность плоскостей и перпендикулярность c к α, во втором — перпендикулярность d к β и параллельность c и d. Во втором рассуждении параллельность α и β сама по себе не нужна, если условие d ⟂ β уже дано.
Ошибка — считать достаточной перпендикулярность прямой одной прямой плоскости. Так происходит, когда прямой угол с отдельной линией принимают за прямой угол со всей плоскостью. Проверь себя: в доказательстве должны быть две пересекающиеся прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой.
Нельзя обращать свойство в обратную сторону без основания: из того, что две прямые перпендикулярны одной плоскости, следует их параллельность, но просто параллельные прямые не обязаны быть перпендикулярны плоскости. Путаница возникает из-за перестановки условия и вывода. Чтобы проверить себя, выпиши условие и заключение свойства отдельно.
Свойство переноса перпендикулярности применимо к параллельным плоскостям, а не к любым двум плоскостям. Ученик может принять их за параллельные только потому, что они не пересекаются на рисунке. Проверь, дано ли это условие или доказано отдельно: изображение пространственной фигуры не заменяет обоснование.
Перпендикулярность прямой плоскости не равна перпендикулярности одной прямой, лежащей в плоскости. Такой вывод часто делают после обнаружения одного прямого угла, хотя в плоскости есть и другие направления. Для проверки найди ещё одну прямую плоскости, пересекающую первую, и примени критерий; либо используй другое подходящее свойство.
Для изучения свойств нужны определения перпендикулярности прямых и параллельности прямых и плоскостей, а также критерий перпендикулярности прямой плоскости. Критерий помогает установить перпендикулярность впервые, а свойства позволяют переносить её на параллельные объекты. Эти знания применяются при доказательствах в пространственных фигурах: например, когда требуется установить положение рёбер, граней или высоты. Они также нужны для нахождения расстояния от точки до плоскости, которое измеряется длиной перпендикуляра.
Почему достаточно проверить перпендикулярность двум прямым плоскости?
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то по критерию она перпендикулярна всей плоскости. Пересечение важно: две параллельные прямые не задают направления плоскости.
Могут ли две прямые, перпендикулярные одной плоскости, пересекаться?
Если это разные прямые, то нет: они параллельны между собой. Через одну точку пространства можно провести только одну прямую заданного направления, перпендикулярного данной плоскости.
Если прямая параллельна прямой, перпендикулярной плоскости, обязательно ли она перпендикулярна этой плоскости?
Да. Параллельные прямые имеют одно направление, а направление нормали к плоскости задаёт перпендикулярность; поэтому обе прямые перпендикулярны плоскости.
Можно ли перенести перпендикулярность с одной плоскости на другую, если они не параллельны?
Нет, соответствующее свойство применимо только к параллельным плоскостям. Для непараллельных плоскостей перпендикулярность прямой одной из них сама по себе ничего не говорит о её положении относительно другой.
Почему расстояние от точки до плоскости задаётся именно перпендикуляром?
Перпендикулярный отрезок короче любого другого отрезка, соединяющего точку с точкой плоскости. Поэтому именно его длина показывает кратчайшее расстояние до плоскости.
§ 2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости
