§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Записывают: l ⟂ α. Это определение задаёт точный смысл перпендикулярности в пространстве: недостаточно просто увидеть прямой угол на чертеже.

Точку, в которой перпендикуляр пересекает плоскость, называют основанием перпендикуляра. Если AH ⟂ α и H принадлежит α, то H — основание перпендикуляра AH. На чертеже точку обычно обозначают заглавной буквой и отмечают прямой угол между перпендикуляром и плоскостью.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой этой плоскости и не являющийся перпендикуляром. Например, если A находится вне α, а B лежит в α, то AB будет наклонной, когда AB не перпендикулярен α. Наклонная нужна, чтобы сравнивать расстояния до разных точек плоскости.

Проекция наклонной — отрезок плоскости, который соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной. Если AH ⟂ α, а AB — наклонная, то HB является проекцией AB на α. Она помогает связать пространственный отрезок AB с прямоугольным треугольником AHB.

Как это устроено

Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, не требуется проверять её перпендикулярность бесконечному множеству прямых этой плоскости. Достаточно выбрать две пересекающиеся прямые плоскости и установить, что данная прямая перпендикулярна обеим: это признак перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение выбранных прямых существенно, поскольку именно оно позволяет установить перпендикулярность к плоскости целиком. Если прямые не пересекаются или выбрана только одна, признак применить нельзя.

Из точки вне плоскости можно опустить на неё перпендикуляр, то есть провести прямую, образующую прямой угол с плоскостью. Такой перпендикуляр единственный: если бы из одной точки к плоскости шли два разных перпендикуляра, они вместе с прямой, соединяющей их основания, образовали бы треугольник с двумя прямыми углами, что невозможно. Поэтому длину перпендикуляра можно однозначно назвать расстоянием от точки до плоскости. Любой путь к другой точке плоскости окажется не короче этого кратчайшего отрезка.

Пусть AH перпендикулярен плоскости α, AB — наклонная, а HB — её проекция. Так как AH перпендикулярен каждой прямой α через H, то AH ⟂ HB, и треугольник AHB прямоугольный. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB². Для наклонных из одной точки перпендикуляр AH общий, поэтому при сравнении их длин достаточно сравнить длины проекций.

Если HB меньше HC, то из равенств AB² = AH² + HB² и AC² = AH² + HC² следует, что AB² меньше AC², а значит, AB меньше AC. При равных проекциях квадраты наклонных равны, поэтому равны и сами наклонные. Кроме того, любая наклонная длиннее перпендикуляра: в прямоугольном треугольнике она является гипотенузой, а перпендикуляр — катетом.

Пусть прямая m параллельна прямой l, а l перпендикулярна плоскости α. Тогда m имеет то же направление, что и l, и также образует прямой угол с прямыми α, проходящими через точку пересечения m с плоскостью. Поэтому m ⟂ α. Отсюда следует и обратное полезное наблюдение: две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны друг другу.

Признаки и следствия перпендикулярности прямой и плоскости

Сначала сопоставь условие задачи с нужной строкой таблицы, затем используй вывод. Для признака обязательно проверь, что две прямые плоскости пересекаются. При сравнении наклонных убедись, что они проведены из одной точки и имеют общий перпендикуляр.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α пересекаются прямые a и b. Прямая l перпендикулярна и a, и b. Докажите, что l перпендикулярна α. Здесь важно не ограничиться двумя значками прямого угла, а проверить, что выполнено условие признака.

1. По условию a и b лежат в α и пересекаются.
2. Также по условию l ⟂ a и l ⟂ b.
3. Значит, l перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α. По признаку l ⟂ α.

Ответ: l перпендикулярна плоскости α.

Задача 2. Из точки A вне плоскости α опущен перпендикуляр AH и проведена наклонная AB. Найдите AB, если AH = 5 см, HB = 12 см. Сначала выясним, какой геометрической фигурой связаны данные отрезки: AH — перпендикуляр, а HB лежит в α и начинается в его основании.

1. Поскольку AH ⟂ α, он перпендикулярен HB. Поэтому треугольник AHB прямоугольный, прямой угол находится при H.
2. AB — гипотенуза, значит, по теореме Пифагора AB² = AH² + HB².
3. Подставим значения: AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Так как длина положительна, AB = √169 = 13 см.

Ответ: 13 см.

Задача 3. Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC с проекциями HB и HC. Известно, что HB < HC. Сравните AB и AC. Не сравниваем отрезки только по внешнему виду: используем общий перпендикуляр AH и теорему Пифагора.

1. Треугольники AHB и AHC прямоугольные, поскольку AH ⟂ α, а HB и HC лежат в плоскости.
2. Запишем: AB² = AH² + HB², AC² = AH² + HC². Отрезок AH общий, а HB < HC, поэтому AB² < AC².
3. Длины положительны, следовательно, из AB² < AC² следует AB < AC.

Ответ: наклонная AB короче наклонной AC.

Типичные ошибки

Иногда считают, что для доказательства достаточно перпендикулярности одной прямой плоскости. Это ошибка: прямая может быть перпендикулярна одной прямой плоскости, но не самой плоскости. Проверь, что найдены две прямые плоскости, они пересекаются, и данная прямая перпендикулярна каждой.

Ещё одна ошибка — забыть о пересечении прямой и плоскости или не обозначить их общую точку. В определении есть точка пересечения, а основание перпендикуляра помогает точно назвать её и указать нужные прямые. Проверь чертёж: основание должно лежать в плоскости, а перпендикуляр проходить через него.

Наклонную часто путают с её проекцией. Наклонная выходит из точки вне плоскости и заканчивается на плоскости, тогда как проекция целиком лежит в плоскости и начинается в основании перпендикуляра. Чтобы проверить себя, назови концы обоих отрезков и убедись, что треугольник из них и перпендикуляра построен правильно.

Нельзя сравнивать наклонные, не учитывая их проекции, или применять теорему Пифагора к треугольнику без прямого угла. Прямой угол образуется между перпендикуляром и проекцией, а не между перпендикуляром и наклонной. Перед вычислением отметь этот угол и убедись, что сравниваемые наклонные проведены из одной точки к одной плоскости.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определение перпендикулярных прямых, свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Также важно понимать, как в пространстве пересекаются и располагаются параллельно прямые и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости пригодится при изучении угла между прямой и плоскостью, расстояний в пространстве и перпендикулярности плоскостей.

Что запомнить

• Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание.
• Чтобы доказать перпендикулярность прямой плоскости, достаточно проверить две пересекающиеся прямые плоскости.
• Перпендикуляр из точки к плоскости единственный.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к плоскости.
• Равным проекциям соответствуют равные наклонные; большей проекции соответствует большая наклонная.
• Прямая, параллельная прямой, перпендикулярной плоскости, также перпендикулярна этой плоскости.