§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая перпендикулярна каждой прямой данной плоскости, проходящей через точку их пересечения. Если прямая l пересекает плоскость α в точке H и l ⟂ любой прямой плоскости через H, то пишут l ⟂ α. Это понятие описывает особое положение прямой в пространстве.

Основание перпендикуляра — точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости, с этой плоскостью. Например, если AH ⟂ α, то H называют основанием перпендикуляра AH. Эта точка нужна, чтобы точно определить, откуда начинается проекция наклонной.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Отрезок AB с концом A вне α и концом B в α может быть наклонной, если AB не перпендикулярен α. Наклонные сравнивают с перпендикуляром и используют для построения прямоугольных треугольников.

Проекция наклонной — отрезок в плоскости, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной. Если AH ⟂ α, а AB — наклонная, то отрезок HB является её проекцией. Проекция показывает, какое перемещение по плоскости соответствует наклонной.

Как это устроено

Признак перпендикулярности говорит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Пересечение необходимо, потому что две такие прямые задают в плоскости два направления, по которым можно проверить положение данной прямой. Если же прямые параллельны, они не дают достаточно информации о плоскости, поэтому признак применять нельзя.

Через заданную точку можно провести перпендикуляр к плоскости: в плоскости выбирают две пересекающиеся прямые и строят через точку прямые, перпендикулярные им в соответствующих плоскостях. Их общая прямая и будет перпендикуляром к исходной плоскости. Второй такой прямой быть не может, поскольку через точку в пространстве нельзя провести две разные прямые, одинаково перпендикулярные двум пересекающимся направлениям плоскости.

Пусть AH — перпендикуляр к α, а AB — наклонная, причём B лежит в α. Отрезок HB находится в плоскости и является проекцией наклонной, а угол AHB прямой, потому что AH перпендикулярен любой прямой плоскости через H. Поэтому AH, HB и AB образуют прямоугольный треугольник, где AB — гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета, значит AB > HB. Перпендикуляр AH также оказывается кратчайшим отрезком от точки A до плоскости: для любой другой точки B плоскости отрезок AB является гипотенузой треугольника AHB и потому длиннее AH. Так геометрически объясняется, почему расстояние от точки до плоскости измеряют именно перпендикуляром.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную с её проекцией. Если прямая m лежит в α, проходит через основание H и перпендикулярна проекции HB, то m перпендикулярна наклонной AB. Причина в том, что перпендикуляр AH уже задаёт одно направление, а условие m ⟂ HB добавляет второе; вместе они позволяют применить признак перпендикулярности в подходящей плоскости.

Перпендикуляр, наклонная и их проекции

В таблице собраны основные условия и выводы. Сначала определите, какие объекты уже даны, затем проверьте расположение прямых и только после этого выбирайте признак или теорему. Особенно внимательно следите за тем, что проекция наклонной лежит в плоскости.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α проведены пересекающиеся прямые a и b. Прямая l перпендикулярна a и b. Требуется доказать, что l перпендикулярна α. Ключевой момент — убедиться, что a и b действительно лежат в α и имеют общую точку.

1. По условию a и b лежат в плоскости α.
2. Прямые a и b пересекаются, поэтому подходят для признака перпендикулярности прямой и плоскости.
3. Дано, что l ⟂ a и l ⟂ b. Следовательно, l перпендикулярна плоскости α.

Ответ: l ⟂ α по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Задача 2

Из точки A вне плоскости α опущен перпендикуляр AH, а AB — наклонная. Дано AH = 5 и HB = 12, требуется найти AB. Поскольку H и B лежат в α, отрезок HB является проекцией наклонной AB.

1. Угол AHB прямой, поэтому треугольник AHB прямоугольный.
2. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
3. Так как длина отрезка положительна, AB = √169 = 13.

Ответ: AB = 13.

Задача 3

Из точки A к плоскости α проведена наклонная AB с проекцией HB. Прямая m лежит в α, проходит через H и перпендикулярна HB. Нужно доказать, что m ⟂ AB. Здесь H является основанием перпендикуляра из A к плоскости α.

1. AH ⟂ α, а HB — проекция наклонной AB.
2. По условию m лежит в α, проходит через H и m ⟂ HB.
3. Все условия теоремы о трёх перпендикулярах выполнены, поэтому m ⟂ AB.

Ответ: m перпендикулярна наклонной AB по теореме о трёх перпендикулярах.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что для признака достаточно перпендикулярности одной прямой плоскости. Так делают, потому что в рисунке одно направление кажется代表ительным, но плоскость имеет множество направлений. Проверьте наличие именно двух пересекающихся прямых.

Вторая ошибка — не установить, что выбранные прямые лежат в рассматриваемой плоскости и пересекаются. Без этих условий признак не работает, даже если на чертеже линии выглядят подходящими. Перед доказательством выпишите расположение каждой прямой.

Третья ошибка — путать наклонную с её проекцией. Наклонная выходит из плоскости, а проекция целиком лежит в ней и имеет общую точку с основанием перпендикуляра. Проверьте, какой отрезок является пространственным, а какой — плоским.

Четвёртая ошибка — применять теорему о трёх перпендикулярах без определения проекции и основания. Убедитесь, что нужная прямая проходит через основание H и перпендикулярна именно проекции наклонной, а не самой наклонной по условию.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны знания о перпендикулярности прямых, прямоугольном треугольнике и теореме Пифагора. Также используются базовые представления о плоскости, прямой и их взаимном расположении в пространстве. Позже перпендикулярность прямой и плоскости понадобится при нахождении расстояний, изучении углов между прямыми и плоскостями и решении задач о многогранниках.

Что запомнить

• Для признака перпендикулярности прямой плоскости достаточно двух пересекающихся прямых этой плоскости.
• Перпендикуляр к плоскости пересекает её в основании перпендикуляра.
• Через точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости.
• Наклонная, её проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник.
• Наклонная длиннее своей проекции.
• Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность прямой проекции наклонной с её перпендикулярностью самой наклонной.