9.1 Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Построение перпендикулярных прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Иначе говоря, она образует прямой угол с любым направлением в плоскости, если смотреть из точки встречи. Такое определение нужно, чтобы точно описать, что значит «прямая стоит к плоскости под прямым углом».

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая пересекает плоскость и перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Признак помогает заменить проверку бесконечного числа прямых более коротким доказательством. Выбранные прямые обычно обозначают, например, a и b, а плоскость — греческой буквой α.

Перпендикуляром к плоскости называют прямую, проведённую через точку плоскости перпендикулярно этой плоскости. Точка, в которой прямая встречает плоскость, называется основанием перпендикуляра; её часто обозначают H. Это понятие используют, когда нужно опустить перпендикуляр из точки или определить расстояние от точки до плоскости.

Построение перпендикулярных прямой и плоскости — это нахождение прямой и плоскости с нужным взаимным расположением и доказательство, что результат верен. Одного рисунка или видимого прямого угла недостаточно: чертёж может искажать пространственные углы. Поэтому построение обосновывают признаком, проверяя перпендикулярность к двум пересекающимся прямым плоскости.

Как это устроено

Определение требует перпендикулярности ко всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения, потому что одна такая прямая показывает лишь один угол. Можно выбрать другое направление в той же плоскости — и угол с исходной прямой окажется не прямым. Если же угол прямой с каждым направлением плоскости, прямая образует с самой плоскостью прямой угол. Это и выражает перпендикулярность прямой плоскости, а не только отдельной линии.

Для проверки достаточно двух пересекающихся прямых, поскольку их направления охватывают направления плоскости. Через точку пересечения этих прямых проходит плоскость, и всякая другая её прямая задаёт направление, которое можно выразить через направления выбранной пары. Если проверяемая прямая перпендикулярна обеим, признак позволяет распространить вывод на плоскость целиком. Параллельные прямые для этой проверки не подходят: они дают одно направление, а не два.

Применяя признак, сначала установите, что прямая действительно пересекает плоскость. Затем выберите в этой плоскости две пересекающиеся прямые, желательно те, перпендикулярность к которым уже известна или легко доказывается. Отдельно обоснуйте прямой угол с каждой из них. Только после этого сформулируйте вывод о перпендикулярности всей плоскости; пропуск любого условия делает применение признака необоснованным.

Чтобы построить перпендикуляр к плоскости через заданную в ней точку A, выберите в плоскости пересекающиеся в A прямые a и b. Планиметрическими построениями найдите направление прямой через A, перпендикулярной a, и проверьте его относительно b; построение должно обеспечивать оба прямых угла. В пространственной геометрии для этого используют вспомогательные плоскости и известные построения перпендикулярных прямых. Само изображение на бумаге служит схемой, а не доказательством того, что нужные углы действительно прямые.

Обоснование построения удобно проводить после того, как линия уже найдена. Укажите, какие две пересекающиеся прямые плоскости выбраны для проверки, и докажите перпендикулярность построенной прямой каждой из них. Убедитесь, что построенная прямая пересекает плоскость именно в требуемой точке. Затем примените признак и получите вывод о перпендикулярности прямой плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости: условие и применение

Пользуйся таблицей как планом доказательства: найди условие, которое известно в задаче, и сопоставь его с определением или признаком. Если применяешь признак, отдельно проверь пересечение и оба прямых угла. При построении сначала предъяви результат, затем обоснуй его по этой же схеме.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α проведены пересекающиеся прямые a и b. Прямая l пересекает α и перпендикулярна a и b. Докажите, что l перпендикулярна α. Нужно проверить, совпадают ли условия задачи с условиями признака, а не доказывать прямой угол с каждой линией плоскости по отдельности.

1. Из условия известно, что a и b лежат в α и пересекаются.
2. Также известно, что l перпендикулярна каждой из этих прямых и пересекает α.
3. Все условия признака выполнены, поэтому применяем его.

Ответ: l ⟂ α по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Задача 2. Точка A принадлежит плоскости α. Постройте через A прямую, перпендикулярную α, и обоснуйте построение. Возьмём две пересекающиеся в A прямые плоскости и сведём работу к построению перпендикулярных направлений в планиметрии. В пространственном чертеже само визуальное положение линий не подтверждает перпендикулярность.

1. Проведите в α пересекающиеся в A прямые a и b.
2. Используя вспомогательные построения, задайте через A прямую l, перпендикулярную a и b; проверьте каждый прямой угол отдельно.
3. Так как l проходит через A ∈ α, она пересекает α. По признаку l ⟂ α.

Ответ: искомая прямая проходит через A и перпендикулярна α; обоснование опирается на два прямых угла и признак.

Задача 3. Из точки A вне плоскости α требуется провести перпендикуляр к α и определить его основание. Чтобы описать построение в общем виде, сначала нужно получить точку H плоскости, для которой прямая AH перпендикулярна двум пересекающимся направлениям α. Конкретный способ нахождения H зависит от доступных вспомогательных построений.

1. В плоскости α выберите две пересекающиеся прямые a и b.
2. С помощью вспомогательных построений найдите точку H ∈ α так, чтобы AH была перпендикулярна a и b.
3. Проверьте, что AH пересекает α в H, и примените признак к прямым a и b.

Ответ: AH ⟂ α, а H — основание перпендикуляра. Для строгого решения нужно указать способ получения H и доказать оба прямых угла, а не только сослаться на чертёж.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что перпендикулярность одной прямой плоскости доказывает перпендикулярность всей плоскости. Так думают, потому что проверенный прямой угол заметен на рисунке, но он описывает только одно направление. Самопроверка: есть ли в доказательстве вторая прямая, пересекающая первую и лежащая в той же плоскости? Если нет, признака недостаточно.

Иногда вместо пересекающихся прямых выбирают параллельные. Они не задают двух независимых направлений плоскости, поэтому не подходят для условия признака. Проверьте по чертежу и условию, что выбранные линии имеют общую точку и обе принадлежат α. Если они параллельны, замените одну из них другой прямой плоскости.

Ещё одна ошибка — забыть проверить, пересекает ли прямая плоскость. Перпендикулярность к двум прямым сама по себе не позволяет применить признак, если его отдельное условие о пересечении не установлено. Перед выводом укажите точку пересечения и убедитесь, что она принадлежит плоскости. Не путайте перпендикулярность плоскости с перпендикулярностью какой-либо одной линии в ней: для вывода нужна проверка всей пары условий.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение перпендикулярных прямых и свойства углов из планиметрии: с их помощью доказывают прямые углы. Понадобятся также знания о пересечении и параллельности прямых и плоскостей, а ещё факт, что две пересекающиеся прямые задают плоскость. Признак перпендикулярности затем используют в пространственных доказательствах, задачах на расстояния и ортогональные проекции. Поэтому важно не только увидеть перпендикуляр на чертеже, но и обосновать его.

Что запомнить

• Перпендикуляр к плоскости пересекает её под прямым углом.
• Для применения признака прямая должна пересекать плоскость.
• Достаточно доказать перпендикулярность к двум пересекающимся прямым плоскости.
• Обе прямые, выбранные для проверки, должны лежать в данной плоскости.
• Построение нужно сопровождать доказательством по признаку.
• Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью — его основание.