9.2. О прямых, перпендикулярных плоскости

Определения и обозначения

Прямая l называется перпендикулярной плоскости α, если l пересекает α и перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Записывают: l ⟂ α. Такое определение описывает не один угол, а положение прямой относительно всей плоскости.

Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется основанием перпендикуляра. Если l ⟂ α и l пересекает α в точке H, то H — основание перпендикуляра. Эта точка нужна, чтобы точно указать, где начинается перпендикуляр к плоскости и через какие прямые плоскости проверяют условие.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости формулируется так: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Обычно обе прямые проходят через основание перпендикуляра. Признак позволяет заменить проверку бесконечного множества прямых проверкой только двух.

Как это устроено

Через точку пересечения прямой с плоскостью можно провести множество прямых, лежащих в плоскости. Поэтому перпендикулярность только одной из них ещё не показывает, как прямая расположена относительно остальных направлений плоскости. Определение требует прямого угла с каждой такой прямой, чтобы исключить наклон внутри плоскости.

Признак делает это условие удобным для доказательства. Две пересекающиеся прямые плоскости задают саму плоскость и представляют два различных направления в ней. Если проверяемая прямая перпендикулярна обеим, её направление не имеет составляющей внутри плоскости, значит, она перпендикулярна плоскости.

Прямые из признака должны пересекаться, потому что пара пересекающихся прямых однозначно задаёт плоскость. Параллельные прямые может лежать в разных плоскостях и не определяет одну плоскость без дополнительных данных. Кроме того, обе прямые должны лежать именно в рассматриваемой плоскости, иначе условие не относится к её направлениям.

Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Если бы через одну точку проходили два разных таких перпендикуляра, каждый из них был бы перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости, но через заданную точку и заданное направление нельзя получить два разных прямых. Поэтому положение перпендикуляра определяется однозначно.

В пространственной задаче сначала находят плоскость, к которой нужно доказать перпендикулярность, и точку её пересечения с данной прямой. Затем выбирают в плоскости две пересекающиеся прямые через эту точку. Если дано, что исходная прямая перпендикулярна каждой из них, применяют признак и получают перпендикулярность плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости: определение и признак

В таблице сначала проверяйте, о каком утверждении идёт речь: об определении или о признаке. Затем сверяйте каждое условие, особенно пересечение прямых и их принадлежность одной плоскости. Если все условия признака выполнены, заключение о перпендикулярности прямой и плоскости следует сразу.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α через точку H проведены пересекающиеся прямые a и b. Прямая l проходит через H и перпендикулярна a и b. Требуется доказать, что l ⟂ α. Все необходимые объекты уже указаны в условии.

1. Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке H.
2. Прямая l проходит через H, поэтому H является её точкой пересечения с плоскостью α.
3. По условию l ⟂ a и l ⟂ b, значит, l перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α.

Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем l ⟂ α. Точка H при этом является основанием перпендикуляра. Доказательство использует признак напрямую.

Задача 2

В треугольнике ABC прямые AB и AC перпендикулярны прямой SD, причём AB и AC пересекаются. Нужно доказать, что SD ⟂ плоскости ABC. Стороны AB и AC лежат в плоскости треугольника ABC.

1. Прямые AB и AC пересекаются в точке A, а значит, задают плоскость ABC.
2. По условию SD ⟂ AB и SD ⟂ AC, то есть SD перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
3. Пересечение SD с плоскостью ABC происходит в точке A, поскольку обе перпендикулярные прямые проходят через A.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что SD ⟂ (ABC). Ключевым шагом было установить не только два прямых угла, но и принадлежность AB и AC одной плоскости. Поэтому условие задачи полностью соответствует признаку.

Задача 3

Через точку P проведены две прямые: первая перпендикулярна одной прямой плоскости α, а вторая — другой, причём эти прямые плоскости пересекаются. Можно ли сразу заключить, что обе проведённые прямые перпендикулярны α? Нужно проверить, получает ли каждая из них два требуемых перпендикулярных направления.

1. Для первой проведённой прямой дан только перпендикуляр к одной прямой α, а для второй — только к другой.
2. Признак требует, чтобы одна и та же прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
3. Поэтому приведённых данных недостаточно: каждая из двух прямых может иметь наклон относительно плоскости.

Ответ: заключить это нельзя. Чтобы доказать, что конкретная прямая через P перпендикулярна α, нужно показать её перпендикулярность двум пересекающимся прямым α, проходящим через точку её пересечения с плоскостью. Эти две прямые должны лежать в α, пересекаться, а сама проверяемая прямая — пересекать плоскость в их общей точке.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что перпендикулярность одной прямой плоскости доказывает перпендикулярность всей плоскости. Так происходит из-за переноса свойства обычных плоских фигур на пространство. Проверьте, найдены ли две пересекающиеся прямые данной плоскости, к которым исходная прямая перпендикулярна.

Ошибка: применять признак к двум параллельным прямым. Параллельные прямые не пересекаются и сами по себе не задают единственную плоскость. Перед применением признака отметьте точку пересечения двух прямых и убедитесь, что она существует.

Ошибка: забывать, что обе прямые должны лежать в рассматриваемой плоскости. Иногда в доказательство включают прямые из разных плоскостей, потому что они имеют нужные углы. Проверьте принадлежность каждой из двух прямых одной и той же плоскости α.

Ошибка: смешивать перпендикуляр к плоскости с перпендикуляром к одной прямой. Прямой угол с одной прямой описывает только одно направление, а плоскость содержит бесконечно много направлений. Для вывода о плоскости используйте признак с двумя пересекающимися прямыми.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать определение перпендикулярных прямых и свойства углов между ними. Это позволяет понимать, что означает прямой угол в пространственной конфигурации.

Также важно уметь распознавать пересекающиеся и параллельные прямые. Две пересекающиеся прямые одной плоскости задают эту плоскость, поэтому их положение играет главную роль в признаке.

Полученные знания понадобятся при изучении расстояния от точки до плоскости, ортогональной проекции и перпендикулярности плоскостей. Во всех этих темах основание перпендикуляра помогает описывать положение точек и фигур в пространстве.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна всем проходящим через точку пересечения прямым этой плоскости.
• Для признака достаточно проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости.
• Обе прямые в признаке должны лежать в одной плоскости.
• Перпендикуляр к плоскости пересекает её в основании перпендикуляра.
• Через заданную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.