"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Перпендикуляр и наклонная связывают точку вне плоскости с точками этой плоскости. Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние до плоскости, а наклонная вместе с её проекцией образует прямоугольный треугольник. Это позволяет сравнивать наклонные и вычислять их длины по теореме Пифагора. Теорема о трёх перпендикулярах помогает заменить проверку перпендикулярности наклонной проверкой её проекции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости из точки вне неё — отрезок, соединяющий эту точку с плоскостью и перпендикулярный каждой прямой плоскости, проходящей через его основание. Например, если AB ⟂ α, то AB перпендикулярен всем прямым плоскости α, проходящим через B. Это определение нужно, чтобы отличать перпендикуляр к плоскости от перпендикулярности только одной прямой.
Основание перпендикуляра — точка его пересечения с плоскостью. Если AB перпендикулярен α и B лежит в α, то B — основание перпендикуляра. Длина AB равна расстоянию от точки A до плоскости, поэтому расстояние в пространстве измеряют именно перпендикуляром.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, но не являющийся перпендикуляром к ней. Так, AC может быть наклонной из A к плоскости α, если C ∈ α и AC не перпендикулярен α. Наклонные нужны для сравнения расстояний и решения задач о длинах в пространстве.
Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, лежащим в плоскости. Если AB ⟂ α, а AC — наклонная, то BC — её проекция. Она показывает, насколько конец наклонной удалён от основания перпендикуляра внутри плоскости.
Через точку вне плоскости можно провести только один перпендикуляр к данной плоскости. Причина в том, что направление, перпендикулярное плоскости, определяется самой плоскостью и точкой, из которой строят перпендикуляр. Поэтому основание перпендикуляра также определяется однозначно. Это позволяет говорить о расстоянии от конкретной точки до конкретной плоскости.
Пусть AB — перпендикуляр к плоскости, AC — наклонная, а BC — её проекция. Отрезки AB и BC лежат на перпендикулярных направлениях, поэтому угол ABC прямой, а треугольник ABC прямоугольный. Наклонная AC является гипотенузой, и потому AC² = AB² + BC². Из этой формулы следует, что AC больше AB, если проекция имеет ненулевую длину.
Рассмотрим несколько наклонных из одной точки к одной плоскости. Их перпендикулярные составляющие одинаковы: каждая равна расстоянию от общей точки до плоскости. В формулах l² = h² + p² величина h постоянна, поэтому увеличение проекции p приводит к увеличению наклонной l. Если проекции равны, равны и соответствующие наклонные.
Теорема о трёх перпендикулярах рассматривает наклонную, её проекцию и прямую в плоскости. Если прямая проходит через конец наклонной и перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Действительно, наклонная состоит из вертикальной составляющей и направления проекции, а прямая в плоскости перпендикулярна этому направлению; из свойств прямоугольных треугольников получается прямой угол с наклонной. В обратную сторону теорема тоже работает: перпендикулярность наклонной влечёт перпендикулярность её проекции.
| Характеристика | Перпендикуляр к плоскости | Наклонная к плоскости | Проекция наклонной |
|---|---|---|---|
| Какие точки соединяет | Внешнюю точку с основанием в плоскости | Внешнюю точку с другой точкой плоскости | Основание перпендикуляра с концом наклонной |
| Угол с плоскостью | Прямой угол | Не является прямым | Лежит в плоскости |
| Связь длин | h — расстояние до плоскости | l² = h² + p² | p — один из катетов |
| Роль в теореме о трёх перпендикулярах | Задаёт проекцию наклонной | Перпендикулярна прямой при условии теоремы | Перпендикулярность проекции равносильна перпендикулярности наклонной |
При решении задачи сначала найдите внешнюю точку, основание перпендикуляра и конец наклонной. Затем определите, какой отрезок является проекцией: это всегда отрезок между двумя точками плоскости. Для вычислений используйте прямоугольный треугольник и формулу l² = h² + p², а для доказательств — прямое или обратное утверждение теоремы о трёх перпендикулярах.
Из точки к плоскости проведён перпендикуляр длиной 5 см, а проекция наклонной равна 12 см. Требуется найти длину наклонной. Обозначим наклонную через l, перпендикуляр через h, а проекцию через p.
Ответ: 13 см.
Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC с проекциями 6 см и 8 см. Расстояние от A до α равно 10 см. Нужно сравнить наклонные, поэтому вычислим каждую через общий перпендикуляр.
Ответ: AC > AB; большей проекции соответствует большая наклонная.
В плоскости α от основания перпендикуляра AB проведена проекция BC наклонной AC. Прямая l в плоскости проходит через C и перпендикулярна BC. Требуется доказать, что l перпендикулярна AC.
Ответ: прямая l перпендикулярна наклонной AC.
Проекцией иногда называют только точку C — конец наклонной в плоскости. Это ошибка: проекция является отрезком BC, соединяющим C с основанием перпендикуляра B. Проверьте, что у названного отрезка оба конца лежат в плоскости.
Нельзя считать, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна одной выбранной прямой этой плоскости. Для перпендикулярности плоскости она должна быть перпендикулярна всем прямым плоскости, проходящим через основание. В условии ищите именно такое общее свойство.
В теореме о трёх перпендикулярах проверяют не наклонную, а её проекцию. Если прямая проходит через конец наклонной и перпендикулярна проекции, теорема даёт перпендикулярность наклонной. Нарисуйте три отрезка и подпишите проекцию, чтобы не перепутать условие.
Наклонную иногда считают равной или меньшей перпендикуляра. Но в прямоугольном треугольнике наклонная — гипотенуза, а перпендикуляр — катет. При ненулевой проекции гипотенуза всегда длиннее катета.
Для изучения темы понадобятся определение перпендикулярных прямых, свойства прямого угла и теорема Пифагора. Они объясняют, почему перпендикуляр и проекция образуют прямоугольный треугольник и как находить его стороны.
Полученные знания применяются при доказательстве перпендикулярности прямых и плоскостей. Они также помогают находить расстояния и длины в пространственных задачах, сводя их к вычислениям в плоском прямоугольном треугольнике.
Чем наклонная отличается от перпендикуляра к плоскости?
Перпендикуляр соединяет точку вне плоскости с плоскостью под прямым углом ко всем прямым плоскости, проходящим через основание. Наклонная тоже соединяет эту точку с плоскостью, но не является перпендикуляром.
Как построить проекцию наклонной на плоскость?
Сначала опустите из внешней точки перпендикуляр к плоскости и отметьте его основание. Затем соедините это основание с концом наклонной в плоскости: полученный отрезок и есть проекция.
Почему наклонная всегда длиннее перпендикуляра?
Перпендикуляр, проекция наклонной и сама наклонная образуют прямоугольный треугольник. Наклонная является его гипотенузой, а гипотенуза длиннее катета.
Как понять, какую прямую считать проекцией наклонной?
Проекция не является одной точкой. Это отрезок в плоскости, соединяющий основание перпендикуляра из внешней точки с концом наклонной.
Когда применять теорему о трёх перпендикулярах?
Её применяют, когда нужно доказать перпендикулярность прямой в плоскости наклонной или, наоборот, проекции наклонной. Достаточно проверить перпендикулярность прямой проекции, если выполнены условия теоремы.
§ 10. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах
