§ 11. Угол между прямой и плоскостью

Определения и обозначения

Угол между прямой и плоскостью — острый угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Ортогональная проекция получается при построении перпендикуляров к плоскости, поэтому отражает наклон прямой к ней. Именно по этой паре направлений определяют угол, а не по случайно выбранной линии на плоскости. Обычно угол обозначают греческой буквой α.

Ортогональная проекция прямой на плоскость — прямая, полученная соединением проекций точек исходной прямой на эту плоскость. Чтобы спроецировать точку, из неё опускают перпендикуляр к плоскости; основание перпендикуляра и есть её проекция. Для отрезка достаточно найти проекции концов и соединить их. Это построение превращает пространственную задачу в задачу о двух прямых.

Угол между прямыми — меньший из углов, образованных двумя пересекающимися или параллельными прямыми. Для параллельных прямых он равен 0°, а при пересечении выбирают угол не больше 90°. Это соглашение удобно, потому что угол не зависит от того, в какую сторону направлены прямые. При нахождении угла между прямой и плоскостью таким меньшим углом становится угол с проекцией.

Перпендикуляр к плоскости — прямая, перпендикулярная каждой прямой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Значит, одного прямого угла с одной линией на плоскости недостаточно, чтобы доказать перпендикулярность плоскости. Перпендикуляр служит направлением, которое называют нормалью к плоскости. Он помогает как построить проекцию, так и связать два дополняющих друг друга угла.

Как это устроено

Чтобы построить угол между прямой и плоскостью, сначала найдите проекции точек прямой на плоскость. Если прямая пересекает плоскость в точке A, то проекция A остаётся на месте, а из другой точки прямой, например B, опускают перпендикуляр на плоскость и получают точку B′. Отрезок AB′ является проекцией отрезка AB, и угол между AB и AB′ — искомый. Так возникает прямоугольный треугольник ABB′, где BB′ перпендикулярен плоскости.

Нельзя брать угол с произвольной прямой плоскости: он может быть больше или меньше искомого в зависимости от выбранного направления. Например, прямая на плоскости может быть почти перпендикулярна проекции исходной прямой, хотя сама исходная прямая наклонена к плоскости совсем иначе. Проекция задаёт единственное направление, соответствующее исходной прямой в плоскости. Поэтому именно угол с проекцией характеризует наклон без произвольного выбора.

Если прямая параллельна плоскости, её проекция параллельна ей, а при совпадении направлений угол принимают равным 0°. Если прямая лежит в плоскости, проекция совпадает с самой прямой, поэтому угол тоже равен 0°. В первом случае прямая может не иметь с плоскостью общих точек, во втором все её точки принадлежат плоскости. Эти ситуации различаются взаимным положением, но дают одинаковое значение угла.

Если прямая перпендикулярна плоскости, её направление совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости, а угол наклона к плоскости равен 90°. Напротив, у параллельной прямой или прямой, лежащей в плоскости, нет наклона к ней, поэтому угол равен 0°. Это крайние значения угла между прямой и плоскостью. Для остальных прямых, пересекающих плоскость, угол находится между 0° и 90°.

Угол между прямой и нормалью к плоскости измеряется от направления, перпендикулярного самой плоскости. Поэтому он дополняет угол между прямой и плоскостью до прямого: если первый обозначить α, а угол с нормалью β, то α + β = 90°. Это следует из того, что нормаль перпендикулярна любому направлению в плоскости, в том числе проекции прямой. Связь полезна, когда в задаче проще найти угол с перпендикуляром, чем строить угол с плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью в различных случаях

Сначала по взаимному положению определите, не является ли угол сразу 0° или 90°. Если случай общий, постройте проекцию прямой и найдите угол в образовавшемся прямоугольном треугольнике. Если дан угол с нормалью, используйте дополнительность углов.

Разбор задач

Прямая в кубе

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной a найдём угол между A₁B и плоскостью ABCD. Проекция вершины B уже лежит в основании, а проекция A₁ — это A, поскольку AA₁ перпендикулярно основанию. Значит, проекция A₁B на основание — отрезок AB. Остаётся сравнить его с исходным отрезком.

1. Рассмотрим треугольник A₁AB. Он прямоугольный при A, так как AA₁ перпендикулярно плоскости основания и, следовательно, AB.
2. По свойству куба AA₁ = AB = a, поэтому прямоугольный треугольник равнобедренный.
3. Искомый угол — угол между A₁B и её проекцией AB, то есть ∠A₁BA. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны 45°.

Ответ: 45°. Равенство катетов здесь позволяет найти угол без вычисления тригонометрических функций. В другой пространственной фигуре проекция отрезка может быть не стороной, а диагональю основания, поэтому её нужно устанавливать отдельно.

Диагональ боковой грани призмы

Пусть дана правильная треугольная призма с равносторонним основанием стороны a и высотой h. Найдём угол α между диагональю боковой грани и плоскостью основания. Боковая грань является прямоугольником, поэтому её диагональ вместе с ребром основания и боковым ребром образует прямоугольный треугольник. Проекция диагонали на основание — соответствующее ребро длины a.

1. Опустим из верхнего конца диагонали перпендикуляр к основанию: его длина равна высоте призмы h.
2. В прямоугольном треугольнике катеты равны a и h, а угол α расположен между диагональю-гипотенузой и её проекцией длины a.
3. По определению тангенса острого угла получаем tg α = h/a, следовательно, α = arctg(h/a).

Ответ: α = arctg(h/a). Численное значение можно найти, если заданы a и h. При h = a получается угол 45°, а при других отношениях высоты и стороны угол меняется.

Боковое ребро правильной пирамиды

Рассмотрим правильную пирамиду с высотой H и правильным n-угольным основанием со стороной a. Нужно найти угол α между боковым ребром и плоскостью основания. Пусть O — центр основания, а V — его вершина; проекцией бокового ребра SV на основание будет OV. Так задача сводится к прямоугольному треугольнику SOV.

1. Высота SO перпендикулярна основанию, поэтому треугольник SOV прямоугольный при O, а угол между SV и OV равен искомому α.
2. Для правильного n-угольника радиус описанной окружности OV = a/(2 sin(180°/n)).
3. По отношению катетов tg α = SO/OV, значит tg α = 2H sin(180°/n)/a и α = arctg(2H sin(180°/n)/a).

Ответ: α = arctg(2H sin(180°/n)/a). Если основание — квадрат, то OV = a/√2; если это равносторонний треугольник, OV = a/√3. Сначала находят радиус основания, а уже затем применяют тригонометрию в прямоугольном треугольнике.

Типичные ошибки

За угол между прямой и плоскостью иногда принимают угол с любой прямой, лежащей в плоскости. Так происходит, когда проекцию не построили и выбрали удобную, но не связанную с задачей линию. Проверка проста: одна сторона искомого угла должна быть исходной прямой, а другая — её ортогональной проекцией. Если в чертеже такого треугольника нет, построение нужно уточнить.

Другая ошибка — использовать тупой угол между прямой и её проекцией. Его выбирают по внешнему виду рисунка, хотя изображение пространственной фигуры может искажать углы. По определению берут острый угол, не превышающий 90°; тупой угол заменяют смежным острым. Для самопроверки убедитесь, что результат лежит от 0° до 90° включительно.

Пересечение прямой с плоскостью само по себе не означает перпендикулярности. Такой вывод иногда делают, увидев прямой угол между прямой и одной из линий плоскости. Но для перпендикулярности прямая должна быть перпендикулярна всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения. Проверьте условие теоремой о перпендикулярности или найдите угол с проекцией: он должен быть 90°.

Наконец, угол с прямой-нормалью нередко принимают за угол с плоскостью. Путаница возникает из-за того, что нормаль часто строят для получения проекции, но сама она перпендикулярна плоскости, а не лежит в ней. Угол с нормалью и угол наклона к плоскости дополняют друг друга до 90°. Проверяйте, между какими именно направлениями измеряется данный в условии угол.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о взаимном положении прямых и плоскостей, перпендикулярности прямой плоскости, ортогональном проектировании и прямоугольном треугольнике. В частности, важно узнавать катеты и гипотенузу, а затем выбирать синус, косинус или тангенс. Понятие угла наклона применяют при нахождении расстояний, длин и углов в многогранниках, а также в задачах на сечения и объёмы. Позже оно помогает перейти к углу между плоскостями и двугранному углу.

Что запомнить

• Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость.
• Угол между прямой и плоскостью выбирают острым.
• Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90°.
• Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол равен 0°.
• Угол между прямой и плоскостью и угол между этой прямой и нормалью к плоскости в сумме дают 90°.
• Для вычисления угла обычно выделяют прямоугольный треугольник, содержащий прямую и её проекцию.
• Главный этап решения — правильно построить ортогональную проекцию прямой на плоскость.