§ 12. Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — отображение точек пространства на плоскость: через каждую точку проводят прямую выбранного направления и находят её пересечение с плоскостью проекций. Направление задаёт, как именно переносить точки, а плоскость — куда они попадают. Этот способ помогает изображать пространственные фигуры на плоском чертеже.

Проецирующие прямые — прямые, параллельные выбранному направлению, вдоль которых проектируют точки. Направление не должно быть параллельно плоскости проекций, иначе прямая может не пересечь её. Условие необходимо, чтобы для точки можно было определить её проекцию.

Проекция точки — пересечение проецирующей прямой с плоскостью, а проекция фигуры — множество проекций всех точек этой фигуры. Иными словами, фигуру получают, перенося на плоскость каждую её точку по одному правилу. Так можно исследовать изображение фигуры, не рассматривая все пространственные координаты отдельно.

Ортогональное проектирование — параллельное проектирование, при котором проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций. Поэтому образ точки находится там, где перпендикуляр из неё встречает плоскость. Этот частный случай особенно удобен для измерений и чертежей.

Как это устроено

Чтобы построить проекцию точки, проведите через неё прямую, параллельную заданному направлению, и отметьте пересечение с плоскостью. Это пересечение и будет образом точки, потому что правило проектирования закрепляет за каждой исходной точкой прямую одного направления. Для фигуры повторите построение для каждой её точки; на практике для многоугольника достаточно спроецировать вершины и соединить их. Условие о непараллельности направления плоскости гарантирует, что проецирующие прямые встретят плоскость.

Все точки прямолинейного отрезка и их проецирующие прямые лежат в одной плоскости: через исходную прямую можно провести плоскость, параллельную направлению проектирования. Пересечение этой плоскости с плоскостью проекций является прямой, поэтому образы точек отрезка располагаются на одной прямой. Крайние точки переходят в крайние точки образа, и обычно отрезок отображается отрезком. Если же исходный отрезок параллелен направлению проектирования, все его точки лежат на одной проецирующей прямой и имеют один образ, поэтому проекция становится точкой.

Если исходные прямые параллельны и не направлены вдоль проецирующих прямых, их проекции лежат на прямых, полученных пересечением соответствующих плоскостей с плоскостью проекций. Эти плоскости параллельны, поэтому их следы на плоскости проекций тоже параллельны. Следовательно, образы исходных прямых сохраняют параллельность. Если же прямая направлена вдоль проецирующих прямых, её образ вырождается в точку, и утверждение о двух параллельных образах к ней неприменимо.

На одной исходной прямой параллельное проектирование задаёт соответствие, при котором положение точки меняется линейно. Поэтому, если отрезок разделён точкой в отношении, такое же отношение получают на его проекции, а середина переходит в середину. Это удобно, когда на чертеже нужно найти образ точки деления, не измеряя длины. Но линейное изменение может растягивать или сжимать отрезок по-разному в разных направлениях, поэтому длины и углы обычно меняются.

В общем параллельном проектировании можно выбрать любое допустимое направление, тогда как в ортогональном оно строго перпендикулярно плоскости. Причина в том, что кратчайшее расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру. Поэтому проекция точки при ортогональном проектировании — основание такого перпендикуляра, а проекция отрезка образует прямоугольную геометрическую схему с исходным отрезком. Если отрезок длины l образует с плоскостью угол α, длина его проекции равна l cos α.

Свойства параллельного и ортогонального проектирования

Сначала определите, какое направление проектирования задано: это сразу помогает выбрать нужный столбец. Затем проверьте, не вырождается ли образ прямой в точку. Для вычисления ортогональной проекции длины используйте угол между отрезком и плоскостью, а не угол с перпендикуляром к ней.

Разбор задач

Задача 1. Постройте параллельную проекцию треугольника на заданную плоскость, если направление проектирования не параллельно плоскости. Важно не пытаться сразу переносить стороны целиком: достаточно построить образы вершин, потому что стороны соединяют именно эти вершины. Условие гарантирует, что через каждую вершину проецирующая прямая пересечёт плоскость. Затем полученные точки зададут изображение треугольника.

1. Обозначьте вершины исходного треугольника A, B и C, а их будущие образы — A′, B′ и C′.
2. Проведите через A, B и C прямые, параллельные заданному направлению.
3. Отметьте точки пересечения этих прямых с плоскостью проекций: это A′, B′ и C′.
4. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′.

Ответ: искомая проекция — треугольник A′B′C′. Его стороны являются проекциями сторон исходного треугольника, если образ не вырождается. Длины и углы исходного треугольника по такому построению восстанавливать нельзя.

Задача 2. В треугольнике ABC точка M — середина AB. Найдите отношение отрезков на проекции стороны AB, если известны проекции A, B и M. Поскольку A, M и B лежат на одной прямой, к ним применимо свойство сохранения отношений при параллельном проектировании. Значит, вместо вычисления длин достаточно использовать исходное деление пополам. Обозначим проекции этих точек A′, B′ и M′.

1. По условию AM = MB, поэтому исходная точка M делит AB в отношении 1 : 1.
2. При непроектирующейся в точку прямой отношение частей на ней сохраняется при параллельном проектировании.
3. Следовательно, на проекции A′B′ выполняется A′M′ = M′B′.

Ответ: A′M′ : M′B′ = 1 : 1, то есть M′ — середина A′B′. Если известны численные длины проекций, их отношение также равно 1 : 1. Это свойство не означает, что проекция сохраняет длину всего отрезка AB.

Задача 3. Найдите длину ортогональной проекции отрезка длиной 10 см на плоскость, если отрезок образует с плоскостью угол 60°. При ортогональном проектировании проекция образует с перпендикулярной составляющей прямоугольный треугольник, в котором исходный отрезок — гипотенуза. Угол между отрезком и его проекцией равен углу между отрезком и плоскостью. Поэтому длина проекции равна прилежащему катету: l cos α.

1. Запишите формулу: lпроекции = l cos α.
2. Подставьте данные: lпроекции = 10 cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, вычислите: 10 · ½ = 5 см.

Ответ: 5 см. Проверка здравого смысла: проекция не длиннее исходного отрезка и при ненулевом угле с плоскостью короче его. При угле 0° отрезок параллелен плоскости, и формула даёт проекцию той же длины.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что проекция любой прямой обязательно является прямой. Так думают, потому что обычный образ прямой действительно прямолинеен, но забывают про вырожденный случай: прямая может быть параллельна направлению проектирования. Тогда все её точки попадают в одну точку. Проверьте направление прямой относительно проецирующих прямых до построения образа.

Нельзя заключать, что параллельное проектирование сохраняет длины и углы, только потому что оно сохраняет некоторые свойства фигуры. Отрезки в разных направлениях могут сжиматься по-разному, а значит, меняются и углы между ними. Проверяйте, какое именно свойство требуется в задаче: параллельность и отношения на одной прямой сохраняются, а метрические величины — обычно нет. Для длины ортогональной проекции применяйте формулу с косинусом.

Не путайте направление проектирования с плоскостью проекций: это разные части построения. Направление определяет, вдоль каких прямых переносятся точки, а плоскость служит местом для полученных образов. Путаница часто возникает из-за того, что оба объекта задаются в условии одновременно. Перед построением отдельно отметьте направление проецирующих прямых и саму плоскость.

Если направление проектирования параллельно плоскости проекций, не следует автоматически считать, что проекция любой точки определена. Проецирующая прямая может не пересечь плоскость, а если точка уже лежит в плоскости, прямая может совпасть с ней и пересечений окажется бесконечно много. Условие о непараллельности направления плоскости исключает эту проблему. Проверьте его прежде, чем искать пересечение.

Связь с другими темами

Для работы с проекциями нужно уметь рассматривать прямые и плоскости в пространстве, проверять параллельность и перпендикулярность и находить пересечение прямой с плоскостью. Эти знания задают основу построения. Параллельное проектирование применяют при изображении пространственных фигур на чертежах и при построении аксонометрических изображений. Ортогональное проектирование связано с нахождением расстояний и углов в пространстве, а также используется в черчении и техническом рисунке.

Что запомнить

• При параллельном проектировании все проецирующие прямые параллельны одному направлению.
• Ортогональное проектирование — частный случай параллельного.
• Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек.
• Прямая может спроецироваться в прямую или, если она параллельна направлению проектирования, в точку.
• Параллельные прямые сохраняют параллельность, если их проекции не вырождаются.
• Отношения отрезков на одной прямой сохраняются, а длины и углы в общем случае — нет.