"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Угол между прямой и плоскостью показывает, насколько сильно прямая наклонена к плоскости. Его определяют через ортогональную проекцию прямой: это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Такой способ даёт однозначный результат и помогает решать задачи, сводя пространственную фигуру к прямоугольному треугольнику. Угол принимают от 0° до 90°: он равен 0° для параллельной плоскости прямой и 90° для перпендикулярной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ортогональная проекция прямой на плоскость получается так: из каждой точки прямой проводят перпендикуляр к плоскости и отмечают основание этого перпендикуляра. Все такие основания образуют проекцию прямой; обычно это другая прямая. Это определение нужно, чтобы задать направление исходной прямой внутри плоскости и затем сравнить направления.
Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая пересекает плоскость, угол рассматривают при точке пересечения; величина угла лежит от 0° до 90°. Такое определение позволяет говорить об одном и том же угле независимо от того, какую точку прямой мы выбрали для построений.
Если прямая параллельна плоскости, угол между ними равен 0°; то же значение получают, когда прямая лежит в плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90°. Эти случаи помогают быстро распознать крайние положения и проверить, верно ли построена проекция.
Почему угол измеряют именно с проекцией? Ортогональное проектирование убирает из направления прямой составляющую, перпендикулярную плоскости, и оставляет направление, лежащее в самой плоскости. Поэтому проекция задаёт направление внутри плоскости, ближайшее к исходной прямой. Угол с произвольной прямой плоскости этого не делает: он зависит от того, какую линию выбрали.
Выбор точки на исходной прямой не меняет угол. Если взять через разные точки прямые, параллельные исходной, их ортогональные проекции тоже будут параллельны: перпендикуляры к плоскости имеют одно направление, а перенос исходной прямой не меняет её направление. Следовательно, угол между прямой и её проекцией остаётся тем же. Это удобно, когда проекцию проще строить не в точке пересечения, а в другом месте.
Связь с перпендикуляром видна в сечении, проходящем через наклонную и перпендикуляр к плоскости. В этом сечении проекция наклонной и перпендикуляр образуют прямой угол, а сама наклонная становится третьей стороной треугольника. Поэтому угол наклонной с плоскостью и угол наклонной с перпендикуляром — два острых угла одного прямоугольного треугольника. Их сумма равна 90°.
Чтобы построить проекцию прямой, достаточно взять на ней две точки, опустить из них перпендикуляры к плоскости и соединить основания. Две точки однозначно задают прямую, поэтому соединяющая основания линия и есть проекция. Для прямой, перпендикулярной плоскости, основания всех перпендикуляров совпадают: проекция становится одной точкой, а не прямой. В этом случае угол с плоскостью сразу равен 90°.
Для вычислений используют прямоугольный треугольник из наклонной, её проекции и перпендикуляра. Наклонная — гипотенуза, проекция — катет в плоскости, перпендикуляр — катет, выходящий из плоскости. Если α — угол наклонной с плоскостью, то sin α равен отношению перпендикуляра к наклонной, а tg α — отношению перпендикуляра к проекции. Выбирайте отношение по тем длинам, которые известны в задаче.
| Положение прямой | Её проекция на плоскость | Угол между прямой и плоскостью |
|---|---|---|
| Прямая лежит в плоскости | Та же прямая | 0° |
| Прямая параллельна плоскости и не лежит в ней | Прямая, параллельная исходной | 0° |
| Прямая пересекает плоскость под острым углом | Прямая в плоскости, проходящая через точку пересечения | От 0° до 90° |
| Прямая перпендикулярна плоскости | Одна точка | 90° |
Сначала определите, как расположена прямая, затем найдите её ортогональную проекцию. Для наклонной сравните её направление с проекцией, а для параллельного и перпендикулярного случаев используйте крайние значения угла. Строка с прямой в плоскости — частный случай параллельного направления.
Задача 1. Прямая параллельна плоскости. Определить угол между прямой и плоскостью. Здесь не нужны вычисления длин: параллельность означает, что направление прямой уже лежит в направлении плоскости. Её проекция параллельна самой прямой, поэтому угол между направлениями нулевой.
Ответ: 0°.
Задача 2. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр длины 6 и наклонная длины 10. Найти угол α между наклонной и плоскостью. Перпендикуляр, наклонная и проекция наклонной образуют прямоугольный треугольник, причём наклонная — гипотенуза. Угол α лежит напротив перпендикуляра, поэтому удобно воспользоваться синусом.
Ответ: примерно 36,9°.
Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде со сторонами основания 3 и 4 и высотой 12 найти угол между пространственной диагональю и плоскостью основания. Проекция диагонали на основание — диагональ основания, равная 5 по теореме Пифагора. Высота параллелепипеда перпендикулярна основанию, поэтому вместе с этой проекцией и пространственной диагональю она образует прямоугольный треугольник.
Ответ: примерно 67,4°.
Ошибка: считать углом между прямой и плоскостью угол с любой прямой, лежащей в плоскости. Так поступают, потому что в пространственной картинке видны разные линии плоскости, но выбранная линия может иметь произвольное направление. Проверьте себя: используемая линия должна быть именно ортогональной проекцией исходной прямой.
Ошибка: путать угол прямой с плоскостью и угол этой прямой с перпендикуляром к плоскости. Их часто смешивают, поскольку оба угла возникают в одном треугольнике. Проверьте, к какой стороне относится угол: с плоскостью он дополняет угол с перпендикуляром до 90°.
Ошибка: при перпендикулярности считать угол равным 0°. Это происходит из-за смешения угла прямой с плоскостью и угла с нормалью, то есть перпендикуляром к плоскости. Проверка простая: перпендикуляр к плоскости образует с ней 90°, а не 0°.
Ошибка: принимать отрезок наклонной до точки пересечения с плоскостью за её проекцию. Он лежит на самой наклонной, а не в плоскости, поэтому в прямоугольном треугольнике окажется неверная сторона. Постройте перпендикуляры к плоскости из двух точек прямой и соедините их основания — полученный отрезок и будет проекцией.
Для построения проекции нужно уметь находить ортогональную проекцию точки и пользоваться признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Вычисление угла опирается на свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические отношения, связывающие его стороны и углы. Позже этот способ пригодится при изучении углов между плоскостями, а также в задачах на расстояния и сечения в пространстве.
Как найти угол между прямой и плоскостью?
Постройте ортогональную проекцию прямой на плоскость и найдите угол между прямой и этой проекцией. Если известны длины сторон образовавшегося прямоугольного треугольника, используйте синус, косинус или тангенс.
Почему угол определяют именно через ортогональную проекцию?
Ортогональная проекция показывает направление в плоскости, которое ближе всего к направлению исходной прямой. Поэтому угол с проекцией задаёт точный и не зависящий от выбора точки угол наклона прямой к плоскости.
Какой угол образует с плоскостью прямая, параллельная ей?
Угол равен 0°. Ортогональная проекция такой прямой параллельна самой прямой, поэтому между их направлениями нет наклона.
Как связаны угол между прямой и плоскостью и угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости?
В сечении, содержащем прямую и перпендикуляр к плоскости, эти углы дополняют друг друга до 90°. Если угол прямой с плоскостью равен α, то с перпендикуляром он равен 90° − α.
Как вычислить угол, если известны длины наклонной и перпендикуляра?
Наклонная является гипотенузой прямоугольного треугольника, а перпендикуляр — катетом, лежащим напротив угла наклонной с плоскостью. Поэтому sin α равен отношению длины перпендикуляра к длине наклонной.
1.6. Угол между прямой и плоскостью
