1.5. Теорема о трёх перпендикулярах

Определения и обозначения

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Она нужна, чтобы описывать отрезки, которые идут от внешней точки к плоскости под ненулевым углом, а не по перпендикуляру.

Основание наклонной — точка плоскости, в которой наклонная пересекает её. Эта точка задаёт конец наклонной на плоскости и помогает установить, через какую точку должна проходить прямая в теореме.

Проекция наклонной — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра, опущенного из внешней точки на плоскость, с основанием наклонной. Она показывает, какой отрезок в плоскости соответствует наклонной, и именно с ней сравнивают прямую при применении теоремы.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность прямой в плоскости и наклонной с перпендикулярностью этой прямой проекции наклонной. Она нужна для доказательств в пространстве, когда непосредственно проверить угол между прямыми трудно.

Как это устроено

Представим точку A вне плоскости α. Опустим из неё перпендикуляр AH на плоскость и проведём наклонную AB, где B лежит в α. Отметим H — основание перпендикуляра и B — основание наклонной. Отрезок HB, соединяющий эти точки, лежит в плоскости и является проекцией AB: он показывает, куда направлена наклонная на плоскости.

Теперь возьмём прямую l в плоскости α, которая проходит через B, и предположим, что l ⟂ HB. Теорема о трёх перпендикулярах утверждает, что тогда l ⟂ AB. Почему достаточно проверить перпендикулярность проекции? Наклонная состоит из направления к плоскости и направления по самой плоскости; прямой угол к проекции вместе с перпендикулярностью AH плоскости позволяет установить прямой угол к наклонной.

Название связано с тремя связанными перпендикулярностями: AH перпендикулярен плоскости α, а значит, и прямой в этой плоскости; l перпендикулярна проекции HB; по теореме l перпендикулярна наклонной AB. При этом прямая l и проекция HB не обязаны быть перпендикулярны AH только в смысле отдельных отрезков на чертеже: AH перпендикулярен всей плоскости. Такое различение помогает не смешивать, какие именно объекты образуют прямые углы.

Идею доказательства можно увидеть, выбрав на l точку C, отличную от B. Так как BC ⟂ HB, треугольник HBC прямоугольный, а из AH ⟂ α следует AH ⟂ HC и AH ⟂ BC. Поэтому по теореме Пифагора AC² = AH² + HC² = AH² + HB² + BC². В прямоугольном треугольнике AHB имеем AB² = AH² + HB², значит, AC² = AB² + BC²; обратная теорема Пифагора даёт ∠ABC = 90°.

Верно и обратное утверждение: если прямая l в α проходит через B и перпендикулярна наклонной AB, то l перпендикулярна её проекции HB. Это не означает, что можно произвольно переставить отрезки в формулировке: в прямом утверждении сначала задана перпендикулярность проекции, а в обратном — наклонной. В обоих случаях нужны та же плоскость и та же точка B.

Теорема о трёх перпендикулярах и обратное утверждение

Пользуйся таблицей так: сначала определи, дан ли перпендикуляр к HB или к AB, а затем выбери прямое либо обратное утверждение. Перед выводом проверь, что l лежит в α и проходит через B. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, теорема в такой конфигурации неприменима.

Разбор задач

1. Перпендикулярность наклонной

Из точки A вне плоскости α опущен перпендикуляр AH, проведена наклонная AB, а прямая l в α проходит через B. Известно, что l ⟂ HB. Докажем, что l ⟂ AB. Здесь нужно узнать в отрезке HB проекцию наклонной и сопоставить условие с прямой теоремой.

1. Так как AH ⟂ α, точка H является основанием перпендикуляра, а B — основанием наклонной AB.
2. Следовательно, HB — проекция наклонной AB на α. По условию l лежит в α, проходит через B и перпендикулярна HB.
3. Все условия теоремы о трёх перпендикулярах выполнены, поэтому l ⟂ AB.

Ответ: l перпендикулярна AB.

2. Прямой угол в треугольнике

Точки H, B, C лежат в α, AH ⟂ α, AB — наклонная, BC ⟂ HB. Требуется доказать, что ABC прямоугольный, и указать прямой угол. Условие BC ⟂ HB относится к проекции наклонной AB, а прямая BC проходит через её основание B.

1. Поскольку AH ⟂ α, а BC лежит в α, получаем AH ⟂ BC. По условию также BC ⟂ HB.
2. По теореме о трёх перпендикулярах из BC ⟂ HB следует BC ⟂ AB.
3. Значит, в треугольнике ABC стороны AB и BC перпендикулярны, поэтому угол ABC — прямой.

Ответ: треугольник ABC прямоугольный при B.

3. Обратное утверждение и длина проекции

Дано AH ⟂ α, AB — наклонная, а прямая l в α проходит через B и перпендикулярна AB. Нужно доказать l ⟂ HB, а затем найти HB при AH = 5 и AB = 13. В первой части применяем обратное утверждение, а во второй — теорему Пифагора в треугольнике AHB.

1. Точка B — основание наклонной, H — основание перпендикуляра, поэтому HB является проекцией AB.
2. Прямая l лежит в α, проходит через B и перпендикулярна AB. По обратному утверждению l ⟂ HB.
3. Так как AH ⟂ α, треугольник AHB прямоугольный при H. Тогда AB² = AH² + HB², поэтому HB² = 13² − 5² = 144 и HB = 12.

Ответ: l ⟂ HB, длина HB равна 12.

Типичные ошибки

Проекцией наклонной иногда называют перпендикуляр AH. Такую путаницу допускают, потому что оба отрезка начинаются в точке A, но AH выходит из плоскости, а проекция лежит в ней. Проверь концы отрезка: проекция соединяет H и B, то есть основания перпендикуляра и наклонной.

Теорему применяют, не проверив положение прямой: она может не лежать в α или не проходить через B. Условия кажутся необязательными, если чертёж выглядит привычно, но без них нужная конфигурация не задана. Перед выводом выпиши отдельно, где расположена прямая и через какую точку она проходит.

Ещё одна ошибка — считать, что перпендикулярность прямой проекции автоматически делает её перпендикулярной любому отрезку плоскости. На деле теорема устанавливает перпендикулярность именно наклонной AB, а не произвольному отрезку. Проверяй, какой отрезок назван в заключении и связан ли он с построением наклонной.

Наконец, путают прямое и обратное утверждения, меняя местами AB и HB. Это происходит, когда запоминают только слова «перпендикулярна — значит, перпендикулярна», не фиксируя условие. Запиши соответствующую пару: l ⟂ HB влечёт l ⟂ AB, а l ⟂ AB влечёт l ⟂ HB, если условия расположения соблюдены.

Связь с другими темами

Для применения теоремы нужно знать, что значит перпендикулярность прямых и перпендикулярность прямой и плоскости. Также необходимо уметь находить проекцию наклонной: отрезок HB строится по основаниям перпендикуляра и наклонной. Если эти элементы не обозначены, легко перепутать исходное условие и вывод.

Теорема помогает доказывать перпендикулярность прямых в пространстве, когда удобнее сначала рассмотреть их проекции на плоскость. Она также используется в задачах на расстояния и углы: после установления прямого угла можно применить свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Поэтому полезно сочетать её с навыками чтения пространственного чертежа.

Что запомнить

• Проекция наклонной лежит в плоскости.
• Основание проекции совпадает с основанием перпендикуляра к плоскости.
• Прямая должна лежать в плоскости и проходить через основание наклонной.
• Если такая прямая перпендикулярна проекции наклонной, она перпендикулярна наклонной.
• Верно и обратное утверждение: перпендикулярность наклонной влечёт перпендикулярность её проекции.
• Перед применением теоремы обозначьте все три перпендикуляра на чертеже.