2.2. Теорема о трех перпендикулярах

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — отрезок, проведённый из точки вне плоскости перпендикулярно ей. Его конец, лежащий в плоскости, называют основанием перпендикуляра. Например, если AH ⟂ α, то H — основание; эта точка нужна, чтобы однозначно построить проекцию наклонной.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Если A не принадлежит α, B принадлежит α, а AB не перпендикулярен α, то AB — наклонная. Она задаёт отрезок, перпендикулярность которого предстоит исследовать.

Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, который лежит в плоскости. При AH ⟂ α проекцией AB будет HB, а не AH. Проекция позволяет перевести пространственную задачу в плоскость α.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность прямой плоскости к наклонной и к её проекции. Чтобы применять теорему, нужно указать саму наклонную, её проекцию и основание перпендикуляра. В прямом и обратном утверждениях прямая должна лежать в плоскости и проходить через это основание.

Как это устроено

Чтобы построить проекцию наклонной AB, сначала из внешней точки A опускают перпендикуляр AH на плоскость α. Затем соединяют его основание H с точкой B, в которой наклонная заканчивается на плоскости. Отрезок HB и есть проекция AB. Такое построение следует из определения ортогонального проектирования: точки на плоскости остаются на месте, а внешняя точка переносится по перпендикуляру к плоскости.

В названии теоремы фигурируют три взаимосвязанных перпендикулярности. Первая — AH ⟂ α, то есть перпендикуляр к плоскости; вторая — прямая l в плоскости перпендикулярна проекции HB; теорема позволяет получить третью — l ⟂ AB. Связь возникает потому, что AB и HB отличаются направлением, связанным с перпендикуляром AH. При этом прямой угол с проекцией переносится на наклонную именно для прямой, проходящей через H.

Прямая теорема утверждает: если l лежит в α, проходит через H и l ⟂ HB, то l ⟂ AB. Геометрически это можно обосновать через прямоугольные треугольники: AH ⟂ α, поэтому AH перпендикулярен каждой прямой плоскости, проходящей через H, в том числе l и HB. Условия l ⟂ HB и AH ⟂ HB показывают, что HB перпендикулярен плоскости, заданной прямыми AH и l. Значит, HB перпендикулярен каждой прямой этой плоскости, в частности AB, лежащей в ней; отсюда получается нужный вывод.

Обратное утверждение меняет местами условие и вывод: если l лежит в α, проходит через H и l ⟂ AB, то l ⟂ HB. Здесь AB и AH задают плоскость, содержащую наклонную и перпендикуляр к α. Прямая l перпендикулярна AH, поскольку лежит в α, и по условию перпендикулярна AB. Поэтому l перпендикулярна плоскости AHB, а значит, перпендикулярна лежащей в ней прямой HB. Это объяснение предполагает обычную конфигурацию с различными точками A, H и B.

В доказательстве удобно переходить между наклонной и её проекцией. Если требуется доказать l ⟂ AB, а известно или легко получить l ⟂ HB, применяют прямую теорему. Если же перпендикулярность наклонной уже дана, обратная теорема позволяет заключить l ⟂ HB. Перед переходом проверяют оба условия для l: она должна находиться в α и проходить через H.

Связь прямой в плоскости с наклонной и её проекцией

Пользуйся таблицей как схемой выбора направления доказательства: сравни, что дано в задаче и что нужно получить. В обоих случаях проверь, что прямая лежит в α и проходит через H. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, сделать вывод по таблице нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Прямая l лежит в α, проходит через H и перпендикулярна HB. Докажите, что l перпендикулярна AB. Нужно распознать, какую роль играет отрезок HB. После этого остаётся выбрать прямое или обратное утверждение теоремы.

1. AH ⟂ α, поэтому H — основание перпендикуляра из A на α.
2. Так как B лежит в α, отрезок HB соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной, значит, HB — проекция AB.
3. По условию l лежит в α, проходит через H и перпендикулярна HB; применяем прямую теорему о трёх перпендикулярах.

Ответ: l ⟂ AB. Здесь важно не перепутать HB и AH: проекцией наклонной служит HB, поэтому именно перпендикулярность к нему запускает прямую теорему. Все требуемые условия теоремы указаны в условии задачи.

Задача 2

Условие. В конфигурации предыдущей задачи известно, что l ⟂ AB. Докажите, что l ⟂ HB. Теперь нужно прийти от наклонной к её проекции, поэтому прямая теорема не подходит. Обратим внимание, что l уже проходит через H и лежит в α.

1. Из AH ⟂ α следует, что AH перпендикулярен любой прямой плоскости α, в частности l.
2. По условию l ⟂ AB; линии AH и AB лежат в плоскости AHB и пересекаются в A.
3. Значит, l перпендикулярна плоскости AHB; следовательно, она перпендикулярна HB, лежащей в этой плоскости.

Ответ: l ⟂ HB. Это применение обратной теоремы о трёх перпендикулярах. Проверка прохождения l через H обязательна: без неё нельзя использовать этот переход от наклонной к проекции.

Задача 3

Условие. Точка A находится вне плоскости α, AH ⟂ α, AB — наклонная. В плоскости α через H проведена прямая l, причём l ⟂ AB; угол между AB и α равен 30°. Объясните, как установить перпендикулярность l и HB и каких данных о расположении l достаточно. Угол дан дополнительно, но сам по себе он не определяет направление l.

1. Поскольку AH ⟂ α, точка H является основанием перпендикуляра, а HB — проекцией AB на α.
2. Условие уже сообщает, что l лежит в α и проходит через H; вместе с l ⟂ AB это даёт все условия обратной теоремы.
3. По обратной теореме заключаем, что l ⟂ HB. Значение угла 30° для этого вывода не используется.

Ответ: l перпендикулярна HB; достаточно знать, что l лежит в α, проходит через H и перпендикулярна AB. Если бы прохождение через H не было дано, его пришлось бы установить отдельно. Угол наклона AB к плоскости не заменяет это условие и сам по себе не доказывает перпендикулярность.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что перпендикулярность прямой и наклонной автоматически даёт перпендикулярность проекции. Так рассуждают, забывая, что теорема требует прямую в плоскости, проходящую через основание перпендикуляра. Проверь себя: назови плоскость, в которой лежит прямая, и укажи точку пересечения с перпендикуляром. Если это не H, обратный переход не обоснован.

Наклонную и её проекцию иногда принимают за один отрезок, поскольку они связаны с одной точкой B. Но AB выходит из плоскости, а HB целиком лежит в α; это разные отрезки. Для самопроверки отметь H как основание перпендикуляра и B как конец наклонной в плоскости: проекция обязана соединять именно H и B.

Ещё одна ошибка — применять прямую теорему вместо обратной или наоборот. Причина обычно в том, что запоминают только слова «наклонная» и «проекция», но не направление перехода. Сопоставь условие с выводом: от перпендикулярности проекции к перпендикулярности наклонной ведёт прямая теорема, а в обратном направлении — обратная.

Нельзя называть проекцией наклонной отрезок от внешней точки до основания перпендикуляра: это сам перпендикуляр AH. Путаница возникает, когда начинают строить проекцию не с того конца. Проверь концы отрезка: проекция идёт от основания H к точке B на плоскости, тогда как AH соединяет внешнюю точку A с плоскостью.

Связь с другими темами

Для изучения теоремы нужно знать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости, и различать перпендикуляр и наклонную. Ещё потребуется умение находить ортогональную проекцию отрезка — его изображение на плоскости с помощью перпендикуляров. Признак перпендикулярности прямых в пространстве помогает обосновывать отношения между линиями, не лежащими в одной плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах применяется в доказательствах перпендикулярности прямых, а также в задачах на углы и расстояния в пространстве. Часто она связывает построение в плоскости с наклонной, выходящей из этой плоскости. Поэтому умение уверенно находить проекцию помогает решать более сложные стереометрические задачи.

Что запомнить

• Проекция наклонной соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной в плоскости.
• Прямая плоскости должна проходить через основание перпендикуляра.
• Перпендикулярность прямой проекции влечёт её перпендикулярность наклонной.
• Если прямая плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна её проекции.
• Перед применением теоремы проверь, где лежит прямая и через какую точку она проходит.