2.1. Расстояние от точки до плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная каждой прямой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра. Иначе говоря, она образует прямой угол с любым направлением в плоскости, исходящим из основания. Это условие позволяет точно отличить перпендикуляр от наклонной и использовать его длину при измерении расстояния.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Она всегда находится в плоскости, а не вне её. Основание важно отмечать в чертеже: вместе с концом наклонной оно задаёт отрезок, который понадобится для составления прямоугольного треугольника.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Её конец на плоскости обычно не совпадает с основанием перпендикуляра. Сравнение наклонной с перпендикуляром помогает определить, какой отрезок действительно задаёт кратчайшее расстояние.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Его обозначают так же, как длину соответствующего отрезка, например h. Именно это число показывает удалённость точки от плоскости; длину произвольной наклонной расстоянием не называют.

Как это устроено

Через точку, не лежащую в плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой плоскости. Представьте, что через точку проведены направления, параллельные прямым плоскости: перпендикуляр должен образовать прямой угол со всеми такими направлениями. Это условие определяет одно направление прямой, поэтому и основание, в котором она пересечёт плоскость, получается единственным. Благодаря этому расстояние от точки до плоскости имеет одно определённое значение.

Любая наклонная из этой точки длиннее перпендикуляра. Чтобы увидеть причину, соедините основание перпендикуляра с концом наклонной отрезком, лежащим в плоскости. Перпендикуляр перпендикулярен этому отрезку, поэтому получается прямоугольный треугольник. Наклонная становится его гипотенузой, а гипотенуза длиннее каждого катета; значит, ни одна наклонная не может дать меньшее расстояние, чем перпендикуляр.

Основание перпендикуляра, конец наклонной и точка вне плоскости образуют прямоугольный треугольник, если соединить эти точки отрезками. Прямой угол находится в основании перпендикуляра: один катет — сам перпендикуляр, второй — отрезок плоскости между двумя точками, а гипотенуза — наклонная. Такая схема важна не только для чертежа: она показывает, какие именно три длины связаны теоремой Пифагора. Если основание перпендикуляра и конец наклонной совпадут, второго катета не будет, а отрезок к плоскости окажется самим перпендикуляром.

Чтобы найти расстояние, сначала определяют основание перпендикуляра, а затем находят длину самого перпендикуляра. Иногда эта длина дана сразу или совпадает с ребром фигуры; в других задачах её вычисляют по прямоугольному треугольнику. Например, если известны наклонная c и отрезок между её концом и основанием перпендикуляра b, то длина перпендикуляра равна √(c² − b²). Перед вычислением нужно установить, какие отрезки являются катетами, а какой — гипотенузой.

Если точка лежит в плоскости, расстояние до неё равно нулю. В этом случае точка уже принадлежит множеству точек плоскости, поэтому от неё не требуется перемещаться к плоскости на ненулевую длину. Это частный случай определения расстояния: кратчайший отрезок имеет длину 0.

Перпендикуляр, наклонная и расстояние от точки до плоскости

При чтении таблицы сначала выясните, какой объект дан в условии: перпендикуляр, наклонная или точка пересечения с плоскостью. Затем используйте его свойство, чтобы выбрать нужный отрезок для решения. Не путайте длину наклонной с искомым расстоянием.

Разбор задач

Перпендикуляр 5 см и наклонная 13 см

Из точки вне плоскости опущен перпендикуляр длиной 5 см и проведена наклонная длиной 13 см. Нужно найти расстояние от основания перпендикуляра до конца наклонной. Этот отрезок лежит в плоскости, а перпендикуляр к нему образует прямой угол. Значит, наклонная — гипотенуза, а искомый отрезок — второй катет.

1. Обозначим искомое расстояние через x. По теореме Пифагора 13² = 5² + x².
2. Вычислим: x² = 169 − 25 = 144, поэтому x = 12 см. Берём положительный корень, поскольку речь идёт о длине.

Ответ: 12 см.

Вершина прямоугольного параллелепипеда и плоскость основания

В прямоугольном параллелепипеде требуется найти расстояние от вершины до плоскости основания, если известны рёбра. Здесь не нужно строить наклонную: следует выяснить, какое ребро уже перпендикулярно плоскости основания. У прямоугольного параллелепипеда боковое ребро образует прямые углы с двумя пересекающимися рёбрами основания, поэтому оно перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, искомое расстояние равно длине этого бокового ребра, а численный ответ берут из данных задачи.

1. Определяем, какое основание рассматривается и какая вершина удалена от его плоскости.
2. Выбираем боковое ребро, опущенное из этой вершины к основанию: оно перпендикулярно плоскости.
3. Берём длину этого ребра. Длины остальных рёбер для такого расстояния не нужны, если выбрана соответствующая высота.

Ответ: длина перпендикулярного бокового ребра.

Перпендикуляр 8 см и наклонная 17 см

Из точки проведены перпендикуляр длиной 8 см и наклонная длиной 17 см. Сначала найдём расстояние от основания перпендикуляра до конца наклонной, а затем сравним наклонную с другой наклонной, если расстояние в плоскости увеличить. Как и в предыдущем примере, эти отрезки образуют прямоугольный треугольник, где наклонная — гипотенуза.

1. Пусть исходное расстояние между основаниями равно x. Тогда 17² = 8² + x², откуда x² = 289 − 64 = 225 и x = 15 см.
2. Если расстояние увеличить до y, где y > 15 см, новая наклонная будет иметь длину √(8² + y²).
3. Так как y² > 15², то 8² + y² > 8² + 15² = 17². Значит, новая наклонная длиннее исходной.

Ответ: исходное расстояние равно 15 см; при увеличении этого расстояния наклонная становится длиннее 17 см.

Типичные ошибки

• Называют расстоянием длину произвольной наклонной. Так ошибаются, потому что оба отрезка соединяют точку с плоскостью. Проверьте, образует ли отрезок прямой угол с плоскостью: если нет, это наклонная, а расстоянием будет длина перпендикуляра.
• Путают основание перпендикуляра с точкой вне плоскости. Начальная точка перпендикуляра и его основание выполняют разные роли, а основание по определению лежит в плоскости. На чертеже убедитесь, что точка пересечения перпендикуляра с плоскостью отмечена именно как основание.
• Считают наклонную короче перпендикуляра. Возможно, при сравнении забывают, что отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, создаёт прямоугольный треугольник. Проверьте, что перпендикуляр — катет, а наклонная — гипотенуза: тогда наклонная обязательно длиннее.
• Применяют теорему Пифагора без проверки прямого угла. Само наличие трёх отрезков ещё не делает треугольник прямоугольным. Перед вычислениями укажите, какие стороны перпендикулярны и где находится прямой угол; если его нет, теорема Пифагора неприменима.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение перпендикулярности прямой и плоскости и признак, по которому её устанавливают: без них нельзя правильно выбрать перпендикуляр. В задачах о наклонных используется свойство прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Найденное расстояние от точки до плоскости пригодится при определении расстояния между параллельными плоскостями и в других стереометрических задачах.

Что запомнить

• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра к плоскости.
• Перпендикуляр из точки вне плоскости имеет единственное основание.
• Любая наклонная из этой точки длиннее перпендикуляра.
• Перпендикуляр и наклонная с отрезком между их основаниями образуют прямоугольный треугольник.
• Если точка принадлежит плоскости, расстояние до неё равно нулю.