§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости из точки вне неё — отрезок, соединяющий эту точку с плоскостью и перпендикулярный ей. Точка пересечения отрезка с плоскостью называется основанием перпендикуляра. Это понятие позволяет задать кратчайшее расстояние от точки до плоскости и служит опорой для построения проекций.

Наклонная к плоскости из точки вне неё — отрезок, соединяющий эту точку с точкой плоскости, но не перпендикулярный ей. Её удобно рассматривать, когда нужно сравнить разные пути от одной внешней точки до плоскости. В отличие от перпендикуляра, наклонная может приходить в плоскость под разными углами.

Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, лежащим в плоскости. Иными словами, это часть плоскости между основанием перпендикуляра и точкой, куда пришла наклонная. Проекция нужна, чтобы связать наклонную с плоскостью и применять к получившейся фигуре теорему Пифагора.

Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её проекцией на плоскость. Для перпендикулярной плоскости прямой угол по определению принимают равным 90°. Это определение помогает однозначно понимать, какой именно угол следует искать в геометрической задаче.

Как это устроено

Из точки, не лежащей в плоскости, можно провести к ней только один перпендикуляр. Его основание фиксирует точку, от которой удобно измерять расстояния по плоскости. Если из той же внешней точки провести наклонную, то её конец будет находиться в плоскости, а основание перпендикуляра тоже будет там; поэтому эти две точки соединяются проекцией. Наклонная, перпендикуляр и проекция образуют треугольник с прямым углом у основания перпендикуляра: перпендикуляр направлен под 90° к любому отрезку плоскости, проходящему через его основание.

В этом прямоугольном треугольнике наклонная — гипотенуза, а перпендикуляр и проекция — катеты. Гипотенуза длиннее каждого катета, поэтому наклонная всегда длиннее перпендикуляра. Так объясняется свойство: из одной точки кратчайший отрезок до плоскости — именно перпендикуляр. Если обозначить длины наклонной, перпендикуляра и проекции через c, h и p, то теорема Пифагора даёт c² = h² + p². Эта запись позволяет вычислить любую из трёх длин, когда известны две другие.

Для наклонных, проведённых из одной внешней точки к одной плоскости, длина перпендикуляра h общая. Поэтому для каждой наклонной выполняется c² = h² + p², и при увеличении p увеличивается c: к одинаковому числу h² прибавляется большее p². Если проекции равны, то равны и наклонные; если одна проекция больше другой, то и соответствующая наклонная длиннее. Это сравнение возможно именно при общем основании перпендикуляра, то есть при одинаковой внешней точке и той же плоскости.

Чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, рассматривают треугольник из перпендикуляра, проекции и наклонной. Искомый угол расположен между наклонной-гипотенузой и проекцией-катетом, а не между наклонной и перпендикуляром. Если известны стороны, угол находят по тригонометрическим отношениям: например, tg α = h/p, где α — угол наклона. Такой выбор сторон отражает положение угла в треугольнике и не позволяет спутать его с соседним углом.

Если известны две стороны этого прямоугольного треугольника, третью находят по теореме Пифагора, а затем определяют угол между наклонной и плоскостью. Например, по перпендикуляру и проекции сначала находят наклонную как гипотенузу. После этого можно вычислить синус угла как отношение перпендикуляра к наклонной, косинус — как отношение проекции к наклонной или тангенс — как отношение перпендикуляра к проекции. Выбирают то отношение, для которого известные длины уже есть или легко находятся.

Перпендикуляр, наклонная и её проекция

Пользуйтесь таблицей, чтобы сначала определить, какой именно отрезок дан в условии и где он расположен. Затем выберите связь, подходящую к задаче: для вычисления длины — прямоугольный треугольник, для сравнения — зависимость наклонной от проекции. Помните, что наклонная является гипотенузой только в треугольнике, где два других отрезка — перпендикуляр и её проекция.

Разбор задач

Задача 1

Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр длиной 6 см и наклонная длиной 10 см. Найдите длину проекции наклонной. Неизвестная проекция является катетом, а наклонная — гипотенузой прямоугольного треугольника. Поэтому нужно вычесть квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.

1. Обозначим проекцию через p. По теореме Пифагора 10² = 6² + p².
2. Вычтем квадрат перпендикуляра: p² = 100 − 36 = 64.
3. Извлечём квадратный корень: p = 8 см, поскольку длина положительна.

Ответ: 8 см. Проверка показывает, что катеты 6 и 8 см дают гипотенузу 10 см.

Задача 2

Из одной точки к плоскости проведены две наклонные с проекциями 5 см и 12 см. Какая наклонная длиннее? В условии уже указано, что обе наклонные проведены из одной точки к одной плоскости, поэтому перпендикуляр для них общий. Каждая наклонная — гипотенуза прямоугольного треугольника с этим перпендикуляром и своей проекцией.

1. Обозначим общий перпендикуляр через h, а длины наклонных — через c₁ и c₂.
2. По теореме Пифагора c₁² = h² + 5², а c₂² = h² + 12².
3. Так как 12² больше 5², то c₂² больше c₁², следовательно, c₂ больше c₁.

Ответ: длиннее наклонная с проекцией 12 см. Точное значение её длины без длины общего перпендикуляра определить нельзя, но для сравнения этих данных достаточно.

Задача 3

Перпендикуляр к плоскости равен 8 см, проекция наклонной равна 6 см. Найдите угол между наклонной и плоскостью. Эти отрезки — катеты прямоугольного треугольника, а наклонная служит гипотенузой. Искомый угол находится между гипотенузой и проекцией, поэтому для него удобно использовать тангенс: противолежащий катет делится на прилежащий.

1. Обозначим искомый угол через α. Для него tg α = 8/6 = 4/3.
2. Следовательно, α = arctg(4/3), что примерно равно 53°.
3. Для проверки найдём наклонную: √(8² + 6²) = √100 = 10 см. Тогда sin α = 8/10 = 0,8, что даёт тот же угол.

Ответ: α = arctg(4/3) ≈ 53°. Угол измеряется между наклонной и её проекцией, а не между наклонной и перпендикуляром.

Типичные ошибки

• Проекцией иногда называют отрезок от исходной внешней точки до плоскости. Это ошибка: такой отрезок может быть наклонной или перпендикуляром, а проекция соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной. Проверка: оба конца проекции должны лежать в плоскости.

• Перпендикуляр ошибочно принимают за гипотенузу. Вероятная причина — представление, что именно он направлен «вверх» от плоскости; однако в прямоугольном треугольнике напротив прямого угла расположена наклонная. Проверьте, что гипотенуза соединяет внешнюю точку с концом наклонной на плоскости.

• Угол наклонной с плоскостью путают с углом наклонной и перпендикуляра. Это происходит, если смотреть только на отрезки, выходящие из внешней точки, не строя проекцию. Чтобы проверить себя, найдите угол между наклонной и её отрезком-проекцией; именно он является углом между прямой и плоскостью.

• Иногда утверждают, что большей проекции соответствует меньшая наклонная. Так можно ошибиться, если забыть, что перпендикуляр общий, а длина наклонной — гипотенуза. При общем основании перпендикуляра большая проекция даёт большую наклонную; это можно проверить по формуле c² = h² + p².

Связь с другими темами

Для работы с перпендикуляром и наклонными нужно знать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости, а также уметь распознавать прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора связывает длины наклонной, перпендикуляра и проекции и помогает находить неизвестную сторону. В дальнейшем эти понятия пригодятся в стереометрических задачах на расстояния и углы между прямыми и плоскостями. Так пространственную задачу часто удаётся свести к вычислениям в одном плоском треугольнике.

Что запомнить

• Из точки вне плоскости к ней можно провести единственный перпендикуляр.
• Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
• Наклонная, её проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник.
• Равным наклонным соответствуют равные проекции.
• Большей наклонной соответствует большая проекция.
• Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией.