"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Перпендикуляр и наклонные помогают описывать положение отрезков относительно плоскости и находить расстояния в пространстве. Если из одной точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонную, получится прямоугольный треугольник: его стороны — перпендикуляр, проекция наклонной и сама наклонная. По этому треугольнику сравнивают длины отрезков и вычисляют их. Угол между прямой и плоскостью определяют через её проекцию на эту плоскость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и перпендикулярный этой плоскости. Точка, в которой он пересекает плоскость, называется основанием перпендикуляра. Если прямая перпендикулярна плоскости α, это записывают a ⟂ α; основание удобно обозначать H.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, но не перпендикулярный ей. Точка на плоскости служит концом наклонной, а общий для наклонной и перпендикуляра внешний конец находится вне плоскости. Наклонными называют такие отрезки, чтобы отличать их от кратчайшего пути к плоскости.
Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, лежащим на плоскости. Например, если AH — перпендикуляр, а AB — наклонная, то отрезок HB является её проекцией. Он помогает сравнивать наклонные и находить их длины.
Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Ортогональная проекция получается, если точки прямой опустить на плоскость по перпендикулярам. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними принимают равным 90°.
Из точки вне плоскости можно провести единственный перпендикуляр к ней. Для существования достаточно провести через внешнюю точку прямую, перпендикулярную плоскости: по определению такая прямая пересечёт плоскость под прямым углом. Единственность связана со свойством перпендикулярности прямой и плоскости: через заданную точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной плоскости.
Проведём из точки A перпендикуляр AH к плоскости и наклонную AB, где B лежит в плоскости. Отрезок HB — проекция наклонной, а угол AHB прямой, потому что AH перпендикулярен плоскости и, значит, любой прямой в ней, проходящей через H. Поэтому AH, HB и AB образуют прямоугольный треугольник, и для их длин действует теорема Пифагора: AB² = AH² + HB².
Если из одной точки провести две наклонные, их длины сравниваются так же, как длины их проекций: большая наклонная имеет большую проекцию. Это следует из равенства квадратов наклонных и суммы квадратов общего перпендикуляра и соответствующих проекций. При равных наклонных проекции тоже равны; верно и обратное, поскольку общий перпендикуляр одинаков для обеих пар.
Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр — катет, наклонная — гипотенуза, а гипотенуза всегда длиннее катета. Поэтому кратчайшее расстояние от точки до плоскости измеряется именно по перпендикуляру, а не по наклонной.
Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, рассматривают угол прямой с её проекцией на плоскость. Для наклонной это угол между самой наклонной и её проекцией, то есть угол при конце наклонной в прямоугольном треугольнике. Если известны стороны треугольника, угол можно вычислить по отношениям sin α = противолежащий катет / гипотенуза и cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
| Характеристика | Перпендикуляр | Наклонная | Проекция наклонной |
|---|---|---|---|
| Как проходит от внешней точки к плоскости | Заканчивается в основании перпендикуляра | Заканчивается в точке плоскости | Идёт от основания перпендикуляра до конца наклонной |
| Связь с плоскостью | Перпендикулярен плоскости | Не перпендикулярна плоскости | Лежит в плоскости |
| Длина относительно наклонной | Короче наклонной из той же точки | Длиннее перпендикуляра | Короче наклонной |
| Связь длины с проекцией | Общий катет для всех таких треугольников | Гипотенуза: l² = h² + p² | Катет; большая проекция соответствует большей наклонной |
| Как участвует в определении угла между прямой и плоскостью | С прямой, перпендикулярной плоскости, образует угол 90° | Образует искомый угол со своей проекцией | Служит второй стороной угла с наклонной |
Сначала определите, какой отрезок на чертеже перпендикулярен плоскости и где находится конец наклонной. Затем проследите, какой отрезок соединяет основание перпендикуляра с этим концом: это проекция. Для вычислений используйте прямоугольный треугольник, не подменяя его стороны другими отрезками.
Из точки вне плоскости опущен перпендикуляр длиной 6 см, а расстояние от его основания до точки плоскости, куда проведена наклонная, равно 8 см. Найдите длину наклонной. Данные 6 см и 8 см относятся к перпендикуляру и проекции наклонной. Значит, они являются катетами прямоугольного треугольника, а искомая наклонная — гипотенузой.
Ответ: 10 см.
Из точки к плоскости проведены две наклонные с проекциями 5 см и 12 см. Длина первой наклонной равна 13 см. Найдите длину второй. У обеих наклонных один и тот же перпендикуляр, поэтому сначала его длину можно восстановить по первой наклонной и её проекции. Затем подставить найденный перпендикуляр и вторую проекцию в теорему Пифагора.
Ответ: 12√2 см.
Наклонная длиной 10 см образует с плоскостью угол 30°. Найдите длины перпендикуляра и проекции наклонной. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией. В прямоугольном треугольнике наклонная является гипотенузой, перпендикуляр лежит напротив угла 30°, а проекция прилегает к нему.
Ответ: перпендикуляр — 5 см, проекция — 5√3 см.
Проекцией наклонной иногда называют весь отрезок от внешней точки до её конца на плоскости. Это неверно: такой отрезок и есть наклонная, а проекция начинается в основании перпендикуляра. Проверьте себя: оба конца проекции должны лежать в плоскости.
Можно ошибочно решить, что большей наклонной соответствует меньшая проекция. Такая путаница возникает, если представить только расстояния на плоскости и не учесть общий перпендикуляр. Для проверки запишите формулу l² = h² + p²: при одном и том же h увеличение p увеличивает и l.
Угол между прямой и плоскостью иногда принимают за угол прямой с перпендикуляром к плоскости. Но определение требует сравнить прямую с её проекцией на плоскость, а не с перпендикуляром. На чертеже отметьте отрезок проекции и ищите угол между ним и наклонной.
Теорему Пифагора нельзя применять к любым трём отрезкам, которые оказались рядом на чертеже. В нужном треугольнике катеты — перпендикуляр и проекция наклонной, а гипотенуза — сама наклонная. Перед вычислением проверьте, что прямой угол образован перпендикуляром и отрезком в плоскости.
Для работы с наклонными нужно знать, что значит перпендикулярность прямых и прямой плоскости, а также уметь применять теорему Пифагора. Понятие проекции связывает геометрию пространства с ортогональным проектированием и помогает переводить пространственную задачу в прямоугольный треугольник. Эти приёмы пригодятся при вычислении расстояний и углов, а позднее — в задачах о многогранниках, прямых и плоскостях.
Можно ли провести из одной точки к плоскости два разных перпендикуляра?
Нет, можно провести только один перпендикуляр. Если бы таких прямых было две, обе были бы перпендикулярны плоскости в одной точке, что невозможно по свойству перпендикулярности прямой и плоскости.
Чем проекция наклонной отличается от самой наклонной?
Наклонная соединяет внешнюю точку с точкой плоскости. Её проекция лежит в плоскости и соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной.
Почему перпендикуляр короче любой наклонной?
Перпендикуляр и проекция наклонной — катеты прямоугольного треугольника, а наклонная — его гипотенуза. Гипотенуза длиннее любого катета.
Как определить угол между прямой и плоскостью на чертеже?
Нужно найти проекцию прямой на плоскость и рассмотреть угол между прямой и этой проекцией. Для перпендикулярной плоскости прямой угол по определению равен 90°.
Как найти длину наклонной, если известны перпендикуляр и её проекция?
Эти отрезки являются катетами прямоугольного треугольника, а наклонная — его гипотенузой. Поэтому её длина равна √(h² + p²), где h — длина перпендикуляра, а p — длина проекции.
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
