"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Перпендикуляр и наклонные помогают описывать положение отрезков относительно плоскости и находить расстояния до неё. Если из точки вне плоскости провести перпендикуляр и наклонную, вместе с проекцией наклонной они образуют прямоугольный треугольник. Поэтому длины можно вычислять по теореме Пифагора, сравнивать наклонные и их проекции. Угол между прямой и плоскостью тоже определяется через проекцию прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — прямая, которая пересекает плоскость под прямым углом. Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Это позволяет установить перпендикулярность, не проверяя угол со всеми прямыми плоскости.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром. Она показывает один из возможных путей от точки к плоскости, отличный от кратчайшего. Основанием наклонной называют точку, в которой она встречает плоскость.
Проекция наклонной — отрезок плоскости, который соединяет основание перпендикуляра с основанием наклонной. Иными словами, это след наклонной на плоскости, полученный при ортогональном проектировании. По длине проекции можно сравнивать наклонные, проведённые из одной точки.
Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Для прямой, перпендикулярной плоскости, угол по определению равен 90°: её проекция вырождается в точку, поэтому угол с проекцией не строят. Это понятие помогает оценивать наклон прямой относительно плоскости.
Из точки, которая не лежит в плоскости, к ней можно провести ровно один перпендикуляр. Если бы таких прямых было две, обе образовали бы с плоскостью прямой угол, но через одну точку к плоскости проходит только одно направление, перпендикулярное ей. Точка, где этот перпендикуляр пересекает плоскость, называется основанием перпендикуляра и служит проекцией исходной точки. Поэтому расстояние от точки до плоскости измеряют именно длиной перпендикуляра.
Пусть из точки вне плоскости проведена наклонная. Её основание и основание перпендикуляра лежат в плоскости, поэтому их соединяет проекция наклонной. Перпендикуляр направлен под прямым углом к плоскости, а значит, и к отрезку плоскости, проходящему через его основание. Получается прямоугольный треугольник: перпендикуляр и проекция — катеты, а наклонная — гипотенуза. Поэтому, если их длины обозначены h, p и l, выполняется равенство l² = h² + p².
Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки. В образовавшемся прямоугольном треугольнике он является катетом, а наклонная — гипотенузой; гипотенуза всегда длиннее каждого катета. Это объясняет, почему кратчайшее расстояние от точки до плоскости проходит по перпендикуляру. Равенство возможно только тогда, когда проекция наклонной имеет нулевую длину, то есть отрезок сам является перпендикуляром.
Рассмотрим две наклонные, проведённые из одной точки к одной плоскости. У соответствующих прямоугольных треугольников общий катет — перпендикуляр, поэтому разница в длинах гипотенуз определяется длинами вторых катетов, то есть проекций. Из равенства l² = h² + p² следует: при одном и том же h большей проекции соответствует большая наклонная, а равным наклонным соответствуют равные проекции. Это сравнение нельзя переносить на отрезки с разными перпендикулярами.
Чтобы определить угол между прямой и плоскостью, строят ортогональную проекцию прямой на эту плоскость. Если прямая пересекает плоскость, её проекцией служит прямая, проведённая через точку пересечения к основанию перпендикуляра с прямой. Угол между исходной прямой и её проекцией и есть угол между прямой и плоскостью. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой l проекция равна l cos α, а перпендикулярная составляющая — l sin α, где α — этот угол.
| Объект или сравнение | Длина и положение | Связь с проекцией |
|---|---|---|
| Перпендикуляр из точки к плоскости | Единственный отрезок, образующий с плоскостью прямой угол; кратчайшее расстояние до неё. | Его основание является проекцией точки на плоскость. |
| Наклонная из той же точки | Отрезок к плоскости, не образующий прямого угла; длиннее перпендикуляра. | Вместе с перпендикуляром образует прямоугольный треугольник. |
| Перпендикуляр и наклонная | Катет h и гипотенуза l прямоугольного треугольника. | Если проекция равна p, то l² = h² + p². |
| Две наклонные из одной точки | Большая наклонная длиннее меньшей. | Большей наклонной соответствует большая проекция; равным наклонным — равные проекции. |
| Угол между прямой и плоскостью | Угол между прямой и её проекцией; для перпендикулярной прямой равен 90°. | Проекция длины l равна l cos α, перпендикулярная составляющая — l sin α. |
Сначала определите, какие отрезки образуют прямоугольный треугольник, и обозначьте его катеты и гипотенузу. Затем примените теорему Пифагора или используйте свойства синуса и косинуса. Сравнивать наклонные по проекциям можно только при общем перпендикуляре.
Из точки вне плоскости опущен перпендикуляр длиной 5 см. Наклонная имеет длину 13 см. Найдите длину её проекции. Перпендикуляр, проекция и наклонная образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная — гипотенуза.
Ответ: 12 см. Проверка: 5² + 12² = 13², значит, найденные длины действительно образуют прямоугольный треугольник.
Из одной точки к плоскости проведены две наклонные с проекциями 6 см и 8 см. Перпендикуляр равен 3 см. Найдите разность длин наклонных. Поскольку обе наклонные проведены из одной точки, общий перпендикуляр можно использовать в обоих прямоугольных треугольниках.
Ответ: √73 − 3√5 см, приблизительно 1,19 см. Корни здесь не сокращаются до целых чисел, поэтому точный ответ удобно оставить в таком виде.
Отрезок длиной 10 см образует с плоскостью угол 30°. Найдите длины его проекции на плоскость и перпендикулярной составляющей. Отрезок, его проекция и перпендикулярная составляющая задают прямоугольный треугольник, а исходный отрезок является гипотенузой.
Ответ: проекция равна 5√3 см, перпендикулярная составляющая — 5 см. Проверка по теореме Пифагора: (5√3)² + 5² = 75 + 25 = 100 = 10².
Иногда проекцией наклонной называют её основание, то есть точку пересечения с плоскостью. Путаница возникает из-за того, что оба понятия связаны с одной точкой. Проверьте себя: проекция наклонной — отрезок от основания перпендикуляра до основания наклонной, а не отдельное основание.
Можно ошибочно считать, что перпендикуляр длиннее наклонной, поскольку он напрямую соединяет точку с плоскостью. Но в прямоугольном треугольнике перпендикуляр — катет, а наклонная — гипотенуза. При вычислении убедитесь, что квадрат длины наклонной равен сумме квадратов двух катетов.
Угол между прямой и плоскостью иногда путают с углом между прямой и перпендикуляром к плоскости. Эти углы дополняют друг друга до 90°, потому что перпендикуляр образует прямой угол с плоскостью. Проверьте, какой угол задан: между прямой и плоскостью он острый, а между прямой и нормалью к плоскости — дополнительный к нему.
Сравнивать длины наклонных только по длинам проекций допустимо не всегда. Такое сравнение работает для наклонных из одной точки к одной плоскости, потому что у них общий перпендикуляр. Если исходные точки или плоскости различны, сравните также длины перпендикуляров и не делайте вывод только по проекциям.
Для этой темы нужны понятия перпендикулярности прямых и плоскостей, свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Через перпендикуляр находят расстояние от точки до плоскости, а через наклонные и их проекции решают задачи на длины в стереометрии. Тригонометрия связывает угол между прямой и плоскостью с длинами: проекция равна l cos α, а перпендикулярная составляющая — l sin α.
Как отличить наклонную к плоскости от перпендикуляра?
Перпендикуляр пересекает плоскость под прямым углом. Наклонная соединяет точку вне плоскости с точкой плоскости, но не образует с ней прямого угла.
Что именно называется проекцией наклонной?
Это отрезок плоскости, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной. Само основание наклонной — только одна точка, а не проекция.
Почему перпендикуляр короче любой наклонной?
Перпендикуляр, проекция наклонной и сама наклонная образуют прямоугольный треугольник. Перпендикуляр — его катет, а наклонная — гипотенуза, которая длиннее катета.
Как найти длину наклонной, если известны перпендикуляр и проекция?
Эти отрезки являются катетами прямоугольного треугольника, а наклонная — гипотенузой. По теореме Пифагора её длина равна √(h² + p²), где h — перпендикуляр, p — проекция.
Как определить угол между прямой и плоскостью?
Нужно построить ортогональную проекцию прямой на плоскость и найти острый угол между прямой и её проекцией. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними равен 90°.
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
