18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Обозначают это так: a ⟂ α, где a — прямая, а α — плоскость. Такое определение связывает прямую не с одной линией, а со всеми направлениями плоскости через общую точку.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикулярной прямой с плоскостью. Если прямая a пересекает плоскость α в точке H и a ⟂ α, то H называют основанием перпендикуляра. Эта точка нужна, чтобы правильно указать, через какую точку плоскости должны проходить проверяемые прямые.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Иными словами, для доказательства не требуется проверять бесконечно много прямых. Достаточно найти две подходящие прямые и проверить углы с ними.

Две прямые, выбранные для признака, должны лежать в рассматриваемой плоскости и пересекаться друг с другом. Обычно их пересечение совпадает с основанием перпендикуляра. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, признак применять нельзя.

Как это устроено

Определение требует проверить каждую прямую плоскости, проходящую через основание. Таких прямых бесконечно много, поэтому непосредственная проверка почти всегда невозможна. Нужен результат, который заменяет бесконечное множество проверок конечным числом условий.

Две пересекающиеся прямые задают в плоскости два разных направления. Если данная прямая перпендикулярна обеим, она не имеет наклона ни вдоль одного направления, ни вдоль другого. Поэтому её положение относительно плоскости фиксируется полностью, и она оказывается перпендикулярной любой прямой плоскости через общую точку.

Ход доказательства признака начинают с произвольной прямой d плоскости, проходящей через точку O пересечения данной прямой a с плоскостью. Выбранные в плоскости прямые b и c пересекаются в O, а a перпендикулярна b и c. По свойствам перпендикулярных прямых и углов между направлениями в плоскости получается, что a образует прямой угол и с произвольной d.

Так как d выбиралась произвольно, результат относится не к одной специально выбранной линии, а к каждой прямой плоскости через O. Это в точности соответствует определению перпендикулярности прямой и плоскости, поэтому делают вывод a ⟂ α. Смысл доказательства в переходе от двух базовых направлений к любому направлению плоскости.

Условие пересечения b и c необходимо: только так две прямые дают общую точку и действительно контролируют положение прямой относительно плоскости. Параллельные линии не образуют в плоскости единой точки, через которую можно связать проверку с основанием перпендикуляра. Поэтому даже перпендикулярность a двум параллельным прямым сама по себе не является признаком.

В обратном направлении рассуждение строят так: сначала находят в нужной плоскости две пересекающиеся прямые. Затем доказывают, что данная прямая перпендикулярна первой и второй, после чего сразу применяют признак. Такой алгоритм особенно удобен в пространственных фигурах, где две стороны или два ребра уже лежат в одной плоскости.

Проверка перпендикулярности прямой и плоскости

Пользуйтесь таблицей как последовательным чек-листом. Сначала убедитесь, что обе прямые принадлежат нужной плоскости и пересекаются, затем проверьте два прямых угла. Только после этого можно делать общий вывод о прямой и плоскости.

Разбор задач

Задача 1

Прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и c плоскости α. Требуется доказать, что a перпендикулярна α. Здесь уже указаны все объекты, необходимые для применения признака.

1. Проверяем, что b и c лежат в плоскости α и пересекаются между собой.
2. Из условия имеем a ⟂ b и a ⟂ c.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что a ⟂ α.

Ответ: прямая a перпендикулярна плоскости α.

Задача 2

В плоскости через точку пересечения с прямой a проведены две прямые, но известно только, что a перпендикулярна одной из них. Нужно выяснить, достаточно ли этого для вывода a ⟂ α. Одно прямое направление ещё не определяет положение относительно всей плоскости.

1. Для признака нужны две прямые плоскости, пересекающиеся друг с другом.
2. Перпендикулярность a первой прямой установлена, но о второй такой факт не дан.
3. Следовательно, условие признака выполнено не полностью, и утверждать a ⟂ α нельзя.

Ответ: нет, нужна ещё одна пересекающаяся с первой прямая, перпендикулярная a.

Задача 3

В треугольной пирамиде прямая a, проходящая через вершину, перпендикулярна двум пересекающимся рёбрам основания. Требуется доказать её перпендикулярность плоскости основания. Обозначим плоскость основания через α, а выбранные рёбра — через b и c.

1. Рёбра b и c лежат в плоскости α и пересекаются в вершине основания.
2. По условию a ⟂ b и a ⟂ c.
3. Все условия признака выполнены, поэтому a ⟂ α.

Ответ: прямая, перпендикулярная двум пересекающимся рёбрам основания, перпендикулярна плоскости основания.

Типичные ошибки

Ошибка: заключать о перпендикулярности плоскости по одной прямой в ней. Её допускают, потому что один прямой угол кажется достаточным, но он характеризует только одно направление. Проверьте наличие второй пересекающейся прямой и перпендикулярность к ней.

Ошибка: использовать две параллельные прямые вместо пересекающихся. Параллельность не даёт общей точки и не выполняет условие признака. Перед доказательством найдите точку пересечения выбранных прямых.

Ошибка: брать для проверки прямые, не лежащие в рассматриваемой плоскости. Такие прямые могут быть перпендикулярны данной, но они не описывают направления нужной плоскости. Проверьте принадлежность каждой выбранной линии этой плоскости.

Ошибка: путать перпендикулярность прямой плоскости с перпендикулярностью одной её прямой. Вывод должен относиться ко всем прямым плоскости через основание перпендикуляра. Если доказан только один угол, это ещё не общий вывод.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать определение перпендикулярных прямых и свойства параллельных прямых в пространстве. Эти знания помогают распознавать прямые углы и проверять положение выбранных линий. Без них трудно понять, почему для признака важны пересечение и принадлежность одной плоскости.

Признак используется при доказательстве перпендикулярности плоскостей. Он также нужен в задачах на расстояния в пространстве, поскольку высота многогранника часто задаётся отрезком, перпендикулярным плоскости основания.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой плоскости через точку пересечения.
• Для применения признака достаточно проверить две прямые плоскости.
• Эти две прямые должны пересекаться.
• Данная прямая должна быть перпендикулярна каждой из двух выбранных прямых.
• После выполнения условий признака делают вывод о перпендикулярности прямой всей плоскости.