17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Перпендикулярность прямой и плоскости обозначают, например, a ⟂ α. Такое определение говорит, что требуется проверить бесконечно много прямых. Поэтому для решения задач нужен признак, позволяющий заменить такую проверку более простой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Например, если b и c пересекаются в плоскости α и a ⟂ b, a ⟂ c, то a ⟂ α. Признак нужен, чтобы обосновать перпендикулярность всей плоскости по двум проверкам.

Пересекающимися называют две прямые, имеющие ровно одну общую точку и не совпадающие. В признаке эти прямые должны лежать в одной плоскости, а их общая точка принадлежит этой плоскости. Это уточнение помогает не спутать подходящую пару с параллельными или скрещивающимися прямыми и правильно применить утверждение.

Как это устроено

По определению прямая должна быть перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Таких прямых бесконечно много, поэтому проверка по определению неудобна. Признак сокращает её до двух прямых, если их расположение и перпендикулярность удовлетворяют указанным условиям. После этого вывод относится не только к выбранной паре, но и ко всей плоскости.

Сначала выбирают две прямые b и c внутри плоскости α, которые пересекаются в O. Затем проверяют, что прямая a перпендикулярна и b, и c. Именно сочетание двух независимых направлений в плоскости позволяет установить перпендикулярность плоскости, а не только отдельной прямой. Если один из двух углов не доказан, оснований для применения признака нет.

Принадлежность прямых плоскости нужна потому, что признак устанавливает отношение именно к этой плоскости. Условие пересечения тоже существенно: параллельные прямые не имеют общей точки, а значит, не дают точки, через которую можно связать проверяемую прямую с плоскостью. Скрещивающиеся прямые вообще не лежат в одной плоскости, поэтому выбрать их как пару внутри α нельзя.

Идея доказательства состоит в том, что две пересекающиеся прямые задают два направления плоскости. Любую прямую плоскости через точку O можно рассматривать как направление, составленное из этих двух направлений; если направление a перпендикулярно обоим, оно перпендикулярно и полученному направлению. Поэтому a перпендикулярна любой прямой α, проходящей через O, — это и соответствует определению перпендикулярности плоскости.

В задаче признак применяют как способ доказательства: нужно не пытаться проверять все прямые плоскости, а найти в ней удобную пересекающуюся пару. Убедитесь, что обе прямые принадлежат одной плоскости и пересекаются, а затем отдельно обоснуйте перпендикулярность к каждой. Если все условия выполнены, можно записать вывод a ⟂ α; в частности, a перпендикулярна любой прямой плоскости через точку пересечения выбранной пары.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Пользуйтесь таблицей как короткой проверкой перед применением признака: сначала проверьте положение двух прямых, затем — оба условия перпендикулярности. Только при выполнении всей цепочки можно делать вывод о перпендикулярности прямой плоскости.

Разбор задач

Задача 1. Прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и c, лежащим в плоскости α. Докажите, что a ⟂ α. Здесь перечислены все необходимые условия, поэтому задача сводится к распознаванию признака.

1. Прямые b и c лежат в плоскости α и пересекаются, следовательно, подходят для условия признака.
2. По условию a перпендикулярна и b, и c. Применяем признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3. Получаем a ⟂ α, поскольку выполнены обе части условия.

Ответ: a ⟂ α.

Задача 2. В плоскости α прямые b и c пересекаются в точке O. Прямая a проходит через O и перпендикулярна b. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что a ⟂ α? Нужно проверить, есть ли в условии полный набор требований признака.

1. Прямые b и c действительно лежат в α и пересекаются, поэтому их положение подходит.
2. Но указано только, что a ⟂ b. Перпендикулярность a и c не дана и из условия не следует.
3. Значит, нельзя применить признак и сделать вывод о перпендикулярности всей плоскости. Для такого вывода потребовалось бы доказать также a ⟂ c.

Ответ: нет, данных недостаточно.

Задача 3. Прямые b и c лежат в плоскости α и пересекаются в O. Прямая a перпендикулярна b и c. Через O в α проведена прямая d. Обоснуйте, что a перпендикулярна d. Здесь требуется сначала получить общий вывод о плоскости, а затем применить его к выбранной прямой.

1. Поскольку a перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и c плоскости α, по признаку a ⟂ α.
2. Прямая d лежит в α и проходит через O — точку пересечения b и c. Значит, d относится к прямым, которые перпендикулярны a по определению.
3. Следовательно, a ⟂ d. Обратите внимание: используется не отдельная проверка для d, а уже доказанная перпендикулярность всей плоскости.

Ответ: a ⟂ d.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Делают вывод о перпендикулярности плоскости по перпендикулярности к одной прямой. Так происходит, когда условие задачи кажется похожим на признак, но проверена только часть требований. Проверьте себя: можете ли вы указать вторую пересекающуюся прямую плоскости и доказать перпендикулярность к ней? Если нет, вывод пока не обоснован.

Ошибка 2. Вместо пересекающихся прямых выбирают параллельные. Иногда кажется, что двух прямых достаточно независимо от их положения, однако признак требует общей точки. Проверьте, пересекаются ли выбранные прямые; если они параллельны, эту пару нельзя использовать.

Ошибка 3. Используют прямые, не лежащие в рассматриваемой плоскости. Перпендикулярность к ним может быть доказана, но она не удовлетворяет условию признака для плоскости α. Перед выводом отметьте, что обе выбранные прямые принадлежат α; иначе нужно найти другую пару.

Ошибка 4. Путают перпендикулярность одной прямой плоскости с перпендикулярностью всей плоскости. Первая проверка — лишь отдельный факт, а второй вывод требует основания. Проверьте себя вопросом: выполнены ли условия признака для двух пересекающихся прямых α? Если нет, утверждать a ⟂ α нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что означают перпендикулярные прямые, плоскость и пересекающиеся прямые, а также уметь распознавать параллельные прямые. Эти понятия помогают проверить все условия до того, как записывать вывод. Позже признак пригодится при доказательстве перпендикулярности плоскостей и при решении задач на расстояния и углы в пространстве. Поэтому важно не только запомнить формулировку, но и видеть, какие пространственные отношения за ней стоят.

Что запомнить

• Для признака нужны две прямые, лежащие в плоскости.
• Эти две прямые должны пересекаться.
• Проверяемая прямая должна быть перпендикулярна обеим прямым.
• Если условия выполнены, проверяемая прямая перпендикулярна плоскости.
• Перпендикулярность к одной прямой плоскости сама по себе недостаточна.