17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют пересекающиеся прямые, которые образуют угол 90°. В пространстве две прямые могут быть скрещивающимися, то есть не пересекаться и не лежать в одной плоскости, поэтому для перпендикулярности прямых необходимо именно их пересечение. Это определение помогает не путать прямой угол с просто удобным расположением линий на рисунке.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Точку пересечения называют основанием перпендикуляра, когда речь идёт о перпендикуляре к плоскости. Определение задаёт, что именно нужно доказать, хотя проверять все прямые плоскости по одной было бы неудобно.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости — утверждение: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Его используют как теорему для доказательства, а не как новое определение. Удобно обозначать плоскость греческой буквой, например α, а прямые — латинскими буквами, например a, b и l.

Как это устроено

По определению нужно установить, что прямая образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проведённой через точку пересечения. Таких прямых бесконечно много, поэтому прямое применение определения потребовало бы бесконечного числа проверок. Признак решает эту задачу: достаточно найти две пересекающиеся прямые в плоскости и доказать два прямых угла. Теорема гарантирует, что тогда прямая перпендикулярна и всем остальным нужным прямым.

Условия о принадлежности плоскости и пересечении не случайны. Проверяемые прямые должны лежать именно в той плоскости, о перпендикулярности которой идёт речь: иначе они не дают информации о её направлениях. Кроме того, эти прямые должны пересекаться, чтобы задавать два разных направления внутри плоскости в одной точке. Пара параллельных прямых задаёт только одно направление, поэтому по прямым углам с ними нельзя применить этот признак.

Применяя признак, сначала ищут в плоскости две подходящие прямые, а не начинают с попытки доказать перпендикулярность сразу всей плоскости. Затем отдельно обосновывают, что обе прямые принадлежат плоскости и имеют общую точку. После этого доказывают, что данная прямая перпендикулярна каждой из них, и формулируют вывод по признаку. Такая последовательность делает доказательство проверяемым: в нём явно указано, откуда взято каждое условие.

В пространственной фигуре подходящие прямые часто находятся в основании или в одной из граней. Например, если нужно доказать перпендикулярность ребра плоскости основания, можно выбрать в основании два пересекающихся ребра, выходящих из той же вершины. Если по свойствам фигуры каждое из них образует прямой угол с данным ребром, признак сразу даёт нужный вывод. Диагонали и другие рёбра тоже можно использовать, если доказаны их принадлежность плоскости и нужные прямые углы.

Определение и признак отвечают на разные вопросы. Определение описывает смысл перпендикулярности прямой и плоскости через все прямые плоскости, проходящие через точку встречи. Признак — удобный инструмент доказательства: он позволяет не проверять всё множество таких прямых. В решении сначала получают условия признака, а затем ссылаются на него, чтобы сделать вывод о плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала установи, что обе прямые лежат в нужной плоскости и пересекаются. Затем докажи перпендикулярность данной прямой каждой из них. Только после проверки всех условий можно сделать вывод о перпендикулярности плоскости.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α пересекаются прямые a и b. Прямая l перпендикулярна и a, и b. Докажите, что l перпендикулярна α. Здесь условия уже даны в формулировке, поэтому нужно сопоставить их с признаком и не пропустить положение прямых.

1. По условию a и b лежат в α и пересекаются.
2. Также по условию l ⟂ a и l ⟂ b, то есть l перпендикулярна обеим прямым.
3. Все условия признака выполнены, поэтому l ⟂ α.

Ответ: l перпендикулярна плоскости α по признаку.

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде докажите, что ребро, выходящее из вершины, перпендикулярно плоскости основания. Пусть из вершины A выходит ребро AA₁, а AB и AD — два других ребра той же вершины в основании ABCD. Рёбра AB и AD пересекаются в A и лежат в плоскости основания.

1. Основание параллелепипеда — прямоугольник, поэтому AB ⟂ AD.
2. Боковое ребро AA₁ перпендикулярно двум рёбрам основания AB и AD, выходящим из A: это свойство прямоугольного параллелепипеда.
3. Значит, AA₁ перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости основания. По признаку AA₁ ⟂ (ABCD).

Ответ: ребро, выходящее из вершины основания, перпендикулярно плоскости основания.

Задача 3. В пирамиде из вершины S опущена высота SO на плоскость основания. Через O проведены пересекающиеся прямые a и b основания. Известно, что SO ⟂ a и SO ⟂ b. Докажите перпендикулярность SO плоскости основания. Здесь точка O является общей для высоты и выбранных прямых, поэтому особенно важно указать, что обе прямые принадлежат основанию.

1. По условию a и b лежат в плоскости основания и пересекаются в O.
2. По условию SO перпендикулярна a и перпендикулярна b.
3. Следовательно, выполнены все условия признака, и SO перпендикулярна плоскости основания.

Ответ: SO ⟂ плоскости основания. В каждой задаче решающим оказывается не название фигуры, а наличие двух пересекающихся прямых плоскости и доказанных прямых углов с ними.

Типичные ошибки

Ошибка — считать достаточной перпендикулярность к двум прямым, не проверив, пересекаются ли они. Условие легко упустить, потому что прямые могут казаться подходящими на рисунке или быть названы вместе в задаче. Но две параллельные прямые не дают оснований применять признак. Проверь их общую точку и укажи пересечение в доказательстве.

Нельзя выбирать одну из прямых вне рассматриваемой плоскости. Так происходит, когда в пространственной фигуре берут удобное ребро, не уточнив, какой плоскости оно принадлежит. Тогда условие признака нарушено, даже если нужный угол действительно прямой. Перед применением признака подпиши, что обе выбранные прямые лежат в этой плоскости.

Перпендикулярность к одной прямой плоскости не доказывает перпендикулярность ко всей плоскости. Одного прямого угла недостаточно: он не проверяет другое направление внутри плоскости. Найди вторую прямую, пересекающую первую, и докажи ещё один прямой угол. Если такой прямой нет, вывод по этому признаку делать нельзя.

Ещё одна ошибка — называть перпендикулярными прямые в пространстве, которые не пересекаются. Её провоцирует изображение объёмной фигуры на плоском рисунке: линии могут выглядеть так, будто встречаются под прямым углом. Проверяй не только угол, но и наличие точки пересечения; без пересечения прямые не перпендикулярны.

Связь с другими темами

Для изучения признака нужны определение перпендикулярных прямых и понятие угла между прямыми. Они помогают обосновать, что линии пересекаются под прямым углом, а не просто выглядят перпендикулярными на чертеже. Также нужно уметь определять, лежит ли прямая в плоскости.

Тема опирается на знания о плоскостях и взаимном расположении прямых в пространстве. Поэтому при решении задач важно различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые и подтверждать их положение по условиям фигуры.

Признак пригодится при доказательстве свойств высот и нахождении расстояний в пространственных фигурах. Он также помогает решать задачи об углах и перпендикулярности в пространстве: сначала устанавливают перпендикулярность к двум прямым, а затем делают вывод о плоскости.

Что запомнить

• Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно проверить её перпендикулярность к двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Обе прямые должны лежать в рассматриваемой плоскости.
• Две прямые, выбранные для применения признака, должны пересекаться.
• Перпендикулярность только к одной прямой плоскости не доказывает перпендикулярность всей плоскости.
• В доказательстве сначала указывают две подходящие прямые, затем проверяют оба прямых угла и применяют признак.
• Определение относится ко всем прямым плоскости через точку пересечения, а признак позволяет обойтись проверкой двух.