"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Перпендикуляр к плоскости образует прямой угол с каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Чтобы проверить перпендикулярность, достаточно установить, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Из этого свойства следует важное правило: любые две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Эти факты помогают определять взаимное расположение прямых в пространственных фигурах и доказывать свойства их рёбер.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — прямая, пересекающая плоскость и перпендикулярная каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Иными словами, в точке встречи с плоскостью прямая образует прямой угол с любым направлением внутри неё. Это понятие позволяет говорить о прямом угле между прямой и целой плоскостью, а не только между прямой и одной выбранной линией.
Основание перпендикуляра — точка, в которой прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость. Через основание можно провести множество прямых плоскости, и с каждой из них перпендикуляр образует угол 90°. Основание нужно, чтобы точно указать место, где прямая встречает плоскость и где проверяются эти углы.
Критерий перпендикулярности прямой и плоскости утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Важно, чтобы обе проверяемые прямые лежали в плоскости и пересекались. Критерий заменяет проверку бесконечного числа прямых одной плоскости проверкой двух подходящих прямых.
Параллельные прямые имеют одинаковое направление и не пересекаются либо совпадают. Если обе они перпендикулярны одной и той же плоскости, их называют параллельными перпендикулярами к этой плоскости. Это свойство помогает находить параллельные рёбра пространственных фигур, даже если прямые расположены на расстоянии друг от друга.
Чтобы проверить, перпендикулярна ли прямая плоскости, достаточно найти в плоскости две пересекающиеся прямые и установить перпендикулярность к каждой из них. Причина в том, что две такие прямые задают направления внутри плоскости: если проверяемая прямая образует прямые углы с обоими, её направление перпендикулярно плоскости. Поэтому она перпендикулярна и всем прямым плоскости через точку пересечения. Если же выбранные прямые не пересекаются, применить этот критерий нельзя.
По определению перпендикуляр к плоскости образует угол 90° с каждой прямой плоскости, проходящей через основание. Угол между скрещивающимися прямыми определяют через параллельные им пересекающиеся прямые, поэтому для такого рассуждения прямую плоскости рассматривают через основание. Это даёт единый способ задавать угол между прямой и плоскостью в точке их встречи. Следовательно, здесь речь идёт не об одной случайной прямой плоскости, а обо всех прямых, проходящих через основание.
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, имеют направления, перпендикулярные направлениям прямых этой плоскости. В плоскости есть два независимых направления, и направление, перпендикулярное обоим, единственно с точностью до противоположного. Значит, обе рассматриваемые прямые направлены одинаково или в противоположные стороны, то есть параллельны. Этот вывод известен как теорема о прямых, перпендикулярных одной плоскости.
Пусть прямая b параллельна прямой a, которая перпендикулярна плоскости α, а b пересекает α. Через точку пересечения b с α можно провести две пересекающиеся прямые этой плоскости. Так как b параллельна a, углы между b и этими прямыми такие же прямые, как соответствующие углы между a и ними. По критерию перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что b тоже перпендикулярна α.
В пространственной фигуре полезно сначала выбрать плоскость, например основание призмы или куба, а затем проверить перпендикулярность нужных прямых к ней. Если две прямые перпендикулярны этой плоскости, можно сразу заключить, что они параллельны. Например, для двух рёбер куба, выходящих из основания, проверяют прямые углы с двумя пересекающимися рёбрами основания. После этого теорема позволяет установить направление второго ребра без сравнения углов между самими рёбрами.
| Условие | Что можно заключить | На что опирается вывод |
|---|---|---|
| Две прямые перпендикулярны одной плоскости | Прямые параллельны | Теорема о прямых, перпендикулярных одной плоскости |
Сначала проверьте условие в первом столбце: обе прямые должны быть перпендикулярны одной и той же плоскости. Если это доказано, используйте вывод из второго столбца и назовите теорему из третьего. Таблица не позволяет заключать о параллельности, если перпендикулярность хотя бы одной прямой к плоскости не установлена.
Прямые a и b перпендикулярны плоскости α. Определите взаимное расположение a и b. В условии уже выполнено главное требование теоремы: обе прямые перпендикулярны одной плоскости. Поэтому не нужно искать угол между a и b или строить дополнительные прямые. Достаточно применить теорему о прямых, перпендикулярных одной плоскости.
Ответ: a ∥ b.
Прямая a перпендикулярна плоскости α, а прямая b параллельна a и пересекает α. Докажем, что b перпендикулярна α. Здесь нельзя ограничиться одной только параллельностью: важно, что b действительно пересекает плоскость. Рассмотрим в α две пересекающиеся прямые через точку встречи b с плоскостью и применим критерий.
Ответ: b перпендикулярна α.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажем, что AA₁ и CC₁ параллельны и перпендикулярны плоскости ABCD. По определению куба боковые рёбра перпендикулярны основанию, но для применения критерия это свойство нужно обосновать через прямые основания. Затем теорема о двух перпендикулярах даст параллельность. Плоскость ABCD содержит пересекающиеся прямые AB и AD, а также CD и DA.
Ответ: AA₁ ⟂ (ABCD), CC₁ ⟂ (ABCD), AA₁ ∥ CC₁.
Ошибка: считать, что достаточно проверить перпендикулярность одной прямой плоскости. Одна прямая задаёт только одно направление, поэтому перпендикулярность к ней не доказывает прямой угол со всей плоскостью. Эту ошибку допускают, когда воспринимают плоскость как одну линию. Проверь себя: для критерия выбраны две прямые, лежащие в плоскости и пересекающиеся?
Ошибка: путать перпендикулярность прямой плоскости с перпендикулярностью одной выбранной прямой в ней. Прямая может быть перпендикулярна одной линии плоскости, но наклонна к другим её направлениям. Обычно причина в том, что свойство одной пары прямых переносят на всю плоскость. Проверь, доказана ли перпендикулярность ко второй пересекающейся прямой плоскости.
Ошибка: утверждать, что две прямые перпендикулярны одной плоскости, не проверив это для каждой из них. Теорема о параллельности применима только после установления обоих условий; перпендикулярность одной прямой ничего не говорит о направлении второй. При чтении решения легко принять данное для одной прямой за доказанное для другой. Проверь отдельно каждую прямую по определению или критерию.
Ошибка: заключать, что любые прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны. В пространстве множество прямых может быть перпендикулярно одной прямой, но направления этих прямых не обязаны совпадать. Такая ошибка появляется из-за переноса привычных представлений о рисунке на пространство. Для вывода о параллельности используй условие о перпендикулярности именно одной и той же плоскости.
Для изучения темы нужны признаки параллельности прямых и определение перпендикулярных прямых. Они помогают распознавать одинаковые направления и прямые углы, на которых строятся пространственные доказательства. Полезно также уверенно находить в плоскости две пересекающиеся прямые.
Критерий перпендикулярности прямой и плоскости связывает знакомые свойства прямых с отношениями в пространстве. Дальше эти знания пригодятся при изучении расстояний в пространстве и углов. Они также помогают определять взаимное расположение прямых и плоскостей в геометрических фигурах.
Как определить, перпендикулярна ли прямая плоскости?
Нужно проверить, пересекает ли прямая плоскость и перпендикулярна ли она двум пересекающимся прямым этой плоскости. Если оба условия выполнены, прямая перпендикулярна плоскости.
Почему для доказательства достаточно двух прямых плоскости?
Через точку пересечения можно провести две пересекающиеся прямые плоскости. Перпендикулярность к ним задаёт направление, которое перпендикулярно всей плоскости, поэтому проверять каждую её прямую отдельно не нужно.
Могут ли две прямые, перпендикулярные одной плоскости, пересекаться?
Если обе прямые перпендикулярны одной плоскости, они параллельны. Различные параллельные прямые не пересекаются, а совпадающие рассматриваются как одна и та же прямая.
Если прямая параллельна перпендикуляру к плоскости, обязательно ли она перпендикулярна плоскости?
Да, если эта прямая пересекает плоскость. Её направление совпадает с направлением перпендикуляра, поэтому по критерию перпендикулярности она перпендикулярна плоскости.
Как применить теорему о параллельных перпендикулярах в кубе?
Сначала доказывают, что два ребра куба перпендикулярны плоскости основания, например проверяют перпендикулярность каждого ребра двум пересекающимся рёбрам основания. Затем применяют теорему: эти рёбра параллельны.
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
