1.2. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Если прямая a перпендикулярна плоскости α, записывают a ⟂ α. Это определение отличает перпендикуляр к плоскости от прямой, которая лишь пересекает плоскость под каким-то углом.

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются; обозначение: a ∥ b. Для теоремы важно именно это отношение: оно позволяет переносить направление одной прямой на другую. Параллельность сама по себе не означает перпендикулярности какой-либо плоскости.

Теорема о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна ей. Например, из a ∥ b и a ⟂ α следует b ⟂ α. Теорема нужна, когда перпендикулярность уже известна для одной прямой, а в задаче требуется установить её для параллельной прямой.

Как это устроено

По определению требуется проверить перпендикулярность прямой всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения, а таких прямых бесконечно много. Признак перпендикулярности упрощает проверку: достаточно взять две пересекающиеся прямые плоскости и доказать, что данная прямая перпендикулярна обеим. Пересечение этих прямых важно, потому что они задают плоскость и позволяют судить о положении прямой относительно неё.

Пусть a ∥ b и a ⟂ α; назовём A точку пересечения a с α. Возьмём в α две пересекающиеся прямые x и y, проходящие через A, и через точку B, где b пересекает α, проведём прямые x₁ и y₁, параллельные соответственно x и y. Прямые x₁ и y₁ пересекаются в B и лежат в α. Так как a ⟂ x и a ⟂ y, а направления b, x₁, y₁ соответственно параллельны направлениям a, x, y, получаем b ⟂ x₁ и b ⟂ y₁.

Остаётся обосновать, что точка B существует, то есть b пересекает α. Если бы b не пересекала α, она была бы параллельна этой плоскости; тогда параллельная ей прямая a тоже не пересекала бы α. Это противоречит a ⟂ α, ведь перпендикуляр к плоскости пересекает её. Значит, b пересекает α, и установленная перпендикулярность двум пересекающимся прямым x₁ и y₁ позволяет применить признак и заключить, что b ⟂ α.

Через любую точку пространства можно провести перпендикуляр к заданной плоскости, и такой перпендикуляр только один. Существование следует из построения перпендикуляра к плоскости, а единственность — из того, что все перпендикуляры к одной плоскости параллельны: две такие прямые, проходящие через одну точку, совпадают. Поэтому нельзя провести через одну точку два различных перпендикуляра к одной плоскости.

Теорема также позволяет переносить уже доказанное свойство: если прямая известна как перпендикулярная α, то достаточно найти параллельную ей прямую и проверить, что требуется рассмотреть именно ту же плоскость α. Перенос работает в одном направлении — от перпендикуляра к плоскости к параллельной ему прямой. Это часто экономит доказательство в задачах, где нужная прямая является ребром многогранника.

Параллельность прямых и перпендикулярность плоскости

Сначала найдите в задаче пару параллельных прямых и установите, какая из них уже перпендикулярна плоскости. Затем примените теорему только к этой паре и той же плоскости. Если обе прямые уже указаны как перпендикулярные, это отдельная информация, а не вывод о параллельности.

Разбор задач

Задача 1. Прямая a перпендикулярна плоскости α, а прямая b параллельна a. Определите взаимное положение b и α.

1. Запишем данные: a ⟂ α и b ∥ a.
2. Проверим условия теоремы: прямые a и b параллельны, одна из них перпендикулярна α.
3. По теореме переносим перпендикулярность с a на b.

Ответ: b ⟂ α.

Задача 2. Через точку M проведены две параллельные прямые; одна из них перпендикулярна плоскости α. Докажите, что вторая также перпендикулярна α.

1. Обозначим прямые через a и b, причём a ⟂ α и a ∥ b.
2. По теореме b пересекает α: если бы она была параллельна α, то параллельная ей a тоже не пересекала бы α, что противоречит a ⟂ α.
3. Через точку пересечения b с α проведём две пересекающиеся прямые этой плоскости, параллельные двум пересекающимся прямым α через точку пересечения a с α.
4. Из a ⟂ α следует, что a перпендикулярна выбранным прямым в α; по параллельности b и проведённых прямых получаем, что b перпендикулярна обеим построенным прямым.
5. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что b ⟂ α.

Ответ: вторая прямая перпендикулярна α.

Задача 3. В тетраэдре указаны параллельные рёбра, а одно из них перпендикулярно плоскости грани. Установите, какое другое ребро перпендикулярно этой плоскости, и обоснуйте ответ.

1. Назовём параллельные рёбра a и b, а плоскость грани — α; по условию a ⟂ α.
2. Проверим, что второе ребро действительно параллельно первому: a ∥ b. Важно не подменять эту проверку тем, что рёбра просто принадлежат одному тетраэдру.
3. Применим теорему к a и b относительно плоскости α. Она даёт b ⟂ α.

Ответ: перпендикулярно плоскости грани то ребро из указанной пары, которое параллельно уже перпендикулярному ребру.

Типичные ошибки

Ошибка — считать достаточным, что прямая перпендикулярна одной прямой плоскости. Так бывает, когда свойство в пространстве переносят из плоского чертежа, но одна прямая не определяет положение относительно всей плоскости. Проверьте себя: для признака нужны две пересекающиеся прямые плоскости, и обе должны быть перпендикулярны данной прямой.

Нельзя переносить перпендикулярность на любую прямую. Теорема действует только для прямой, параллельной данному перпендикуляру и рассматриваемой относительно той же плоскости; без параллельности оснований для вывода нет. Перед применением выпишите отдельно оба условия: a ∥ b и a ⟂ α.

Из перпендикулярности двух прямых одной плоскости не следует, что они параллельны. Их направления могут быть разными, а само слово «перпендикулярны» описывает угол, не параллельность; проверьте, дано ли отношение параллельности отдельно. Также не пропускайте проверку пересечения второй прямой с плоскостью: её обеспечивает условие теоремы и доказательство, а не видимый на рисунке след.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения параллельных прямых и перпендикулярности прямой и плоскости, а также признак перпендикулярности прямой и плоскости. Свойства параллельных прямых и их связь с перпендикулярностью уже знакомы из планиметрии; теперь они используются в пространстве. Теорема пригодится при доказательстве перпендикулярности прямых и плоскостей, изучении расстояний в пространстве и решении задач на многогранники.

Что запомнить

• Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна ей.
• Для проверки перпендикулярности прямой плоскости достаточно проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Прямая, параллельная прямой, перпендикулярной плоскости, не может быть параллельна этой плоскости.
• Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
• В доказательстве указывай, какие прямые параллельны и в какой плоскости они лежат.