16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Точку пересечения называют основанием перпендикуляра. Это определение задаёт, что означает перпендикулярность не двух прямых, а прямой и плоскости. Благодаря ему можно говорить о перпендикуляре к плоскости как о прямой, а не только об отдельном отрезке.

Чтобы проверить перпендикулярность прямой плоскости, достаточно проверить, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Это признак перпендикулярности прямой и плоскости: две пересекающиеся прямые задают направления плоскости, и проверка относительно обеих исключает наклон прямой внутри неё. Поэтому не нужно по отдельности проверять все прямые плоскости. Главное — чтобы выбранные прямые действительно пересекались и лежали в этой плоскости.

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, одного отсутствия общей точки недостаточно: две прямые могут быть скрещивающимися, то есть не лежать в одной плоскости. Определение помогает точно отличать параллельные прямые от скрещивающихся. В теореме этого параграфа требуется установить оба свойства: прямые должны иметь общее направление и быть компланарными.

Как это устроено

Предположим, что две прямые, перпендикулярные одной плоскости, пересекаются. В точке пересечения каждая из них перпендикулярна этой плоскости, а значит, обе являются перпендикулярами к плоскости, проведёнными через одну точку. У плоскости в этой точке только одно направление перпендикуляра: два разных направления не могут одновременно образовывать прямой угол со всеми направлениями плоскости. Следовательно, пересекающиеся перпендикуляры должны совпасть, а разные прямые пересекаться не могут.

Нельзя обосновать нужное свойство фразой «через две скрещивающиеся прямые можно провести плоскость»: как раз скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Вместо этого рассмотрим направление прямой, перпендикулярной плоскости: оно задаётся направлением, нормальным к плоскости, и одинаково для всех её перпендикуляров. Две прямые с одинаковым направлением либо совпадают, либо параллельны; в обоих случаях они лежат в одной плоскости. Поэтому вариант со скрещивающимися прямыми невозможен.

Теорема формулируется так: если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны. Условие — обе прямые перпендикулярны одной и той же плоскости; заключение — прямые параллельны. Доказательство опирается на то, что у перпендикуляров к этой плоскости одно направление, а значит, они не могут быть ни пересекающимися под углом, ни скрещивающимися. Если прямые совпадают, их также считают параллельными в смысле одинакового направления.

В задачах теорему удобно применять сразу после установления условия. Если уже известно, что прямые a и b перпендикулярны плоскости α, не требуется дополнительно искать плоскость, в которой они лежат, или проверять, пересекаются ли они. По теореме сразу записывают a ∥ b. Если же перпендикулярность относится к разным плоскостям, условие теоремы не выполнено и такой вывод делать нельзя.

Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и только одну такую прямую. Существование означает, что направление перпендикуляра можно задать и через точку вне плоскости; единственность следует из теоремы: два таких перпендикуляра были бы параллельны. Но параллельные прямые, проходящие через одну точку, совпадают. Поэтому через точку плоскости тоже проходит ровно один перпендикуляр к ней.

Прямые, перпендикулярные одной плоскости

В первой колонке проверь, что обе прямые перпендикулярны именно одной и той же плоскости. Если условие выполнено, заключение из второй колонки следует по указанной теореме. Таблица помогает быстро выбрать основание для доказательства, но не заменяет проверку условия.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b перпендикулярны плоскости α. Как расположены a и b? Здесь уже дано условие теоремы, поэтому искать дополнительные точки или строить вспомогательные плоскости не нужно. Следует сопоставить условие задачи с условием теоремы и записать её заключение.

1. Установим, что a ⟂ α и b ⟂ α, то есть обе прямые перпендикулярны одной плоскости.
2. Применим теорему о прямых, перпендикулярных одной плоскости.
3. Получаем a ∥ b.

Ответ: прямые a и b параллельны. Теорема не требует, чтобы прямые пересекались с плоскостью в одной точке. Достаточно того, что перпендикулярность каждой из них относится к α.

Задача 2. Ребро боковой грани призмы перпендикулярно плоскости основания. Как расположены остальные боковые рёбра, перпендикулярные этому же основанию? Сначала нужно выяснить, какое условие объединяет рёбра: все названные прямые перпендикулярны одной плоскости основания. Поэтому для ответа достаточно теоремы; особое положение рёбер в гранях не меняет её условия.

1. Обозначим плоскость основания через α, а рассматриваемые боковые рёбра — через a, b и другие прямые.
2. По условию каждое из них перпендикулярно α.
3. Применим теорему к каждой паре таких рёбер: они параллельны друг другу.

Ответ: все боковые рёбра, перпендикулярные плоскости основания, параллельны. Для обоснования не нужно искать плоскость, содержащую все эти рёбра: параллельность каждой пары уже следует из теоремы. Указание на общую плоскость основания здесь решающее.

Задача 3. Через точку A проведены прямые a и b, обе перпендикулярные плоскости α. Докажите, что a и b совпадают. Условие даёт два перпендикуляра к одной плоскости, поэтому первым шагом можно установить их параллельность. Затем используем то, что обе прямые проходят через A.

1. Так как a ⟂ α и b ⟂ α, по теореме a ∥ b.
2. По условию A принадлежит и прямой a, и прямой b, то есть у параллельных прямых есть общая точка.
3. Разные параллельные прямые не пересекаются, поэтому в данном случае a и b не разные, а совпадают.

Ответ: a и b совпадают. Это также показывает, почему через заданную точку нельзя провести два различных перпендикуляра к одной плоскости. Теорема даёт параллельность, а общая точка превращает её в совпадение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что для перпендикулярности прямой плоскости достаточно проверить угол с одной прямой плоскости. Так рассуждают, перенося на пространственную задачу знакомое свойство двух прямых, но одна проверка не задаёт отношения ко всей плоскости. Для проверки перпендикулярности прямой плоскости нужны две пересекающиеся прямые этой плоскости. Проверь себя: назвал ли ты обе прямые и указал ли их точку пересечения?

Вторая ошибка — объявлять параллельными прямые, перпендикулярные разным плоскостям. Причина обычно в том, что слово «перпендикулярны» воспринимают как достаточное условие, забывая уточнение в теореме. Она работает только при общей плоскости. Перед выводом выпиши, к какой плоскости перпендикулярна каждая прямая: обозначения плоскостей должны совпасть.

Третья ошибка — считать, что параллельные прямые обязаны находиться рядом или пересекаться, если их продолжить. Параллельность описывает направление и взаимное расположение, а не расстояние между прямыми: они могут проходить через совершенно разные места пространства. Вспомни определение: параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Проверяй не близость прямых, а их компланарность и отсутствие общей точки.

Четвёртая ошибка — полагать, что через точку плоскости можно провести несколько разных перпендикуляров к ней. Это неверно, потому что в одной точке задано единственное направление, перпендикулярное плоскости. Если предположить наличие двух таких прямых, теорема покажет, что они параллельны, а общая точка означает их совпадение. Для самопроверки спроси себя: могут ли две разные параллельные прямые иметь общую точку?

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны определения параллельных и перпендикулярных прямых, а также представление о прямой и плоскости в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и плоскости помогает обосновать, что прямая действительно перпендикулярна всей плоскости, а не только одной её прямой. Теорема о параллельных перпендикулярах затем применяется при изучении расстояний и углов в пространстве. Она также помогает доказывать свойства многогранников, в частности призм и пирамид.

Что запомнить

• Перпендикулярность прямой плоскости означает перпендикулярность каждой прямой плоскости.
• Для проверки перпендикулярности прямой плоскости достаточно проверить её перпендикулярность двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
• В теореме важно, что обе прямые перпендикулярны одной и той же плоскости.
• Через заданную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.