15. Перпендикулярные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Углом между двумя прямыми в пространстве называют меньший угол между пересекающимися прямыми, проведёнными через одну точку параллельно данным. Точка может быть выбрана произвольно, а каждая построенная прямая должна иметь направление одной из исходных. Такое определение позволяет сравнить направления прямых, даже если они не имеют общей точки.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, проведёнными через одну точку параллельно каждой из исходных. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, поэтому обычный угол с общей вершиной между ними построить нельзя. Параллельные копии дают возможность определить угол, не меняя направления исходных прямых.

Перпендикулярными в пространстве называют прямые, угол между которыми равен 90°. Эти прямые могут пересекаться, но могут и быть скрещивающимися: определение опирается на угол между их направлениями, а не на наличие общей точки. Это позволяет говорить о перпендикулярности для прямых, расположенных в разных плоскостях.

Как это устроено

Чтобы определить угол, через выбранную точку проводят прямые, параллельные данным. Если выбрать другую точку, построенные прямые лишь перенесутся, но сохранят направления. Параллельный перенос сохраняет величину углов, поэтому результат не зависит от положения точки.

Если исходные прямые пересекаются, они уже подходят для определения угла: рассматривают два угла, образовавшиеся при пересечении, и выбирают меньший. Если же прямые скрещиваются, общей вершины у них нет. Тогда через одну точку проводят две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные исходным, и измеряют угол между ними.

Перпендикулярность в пространстве не означает обязательного пересечения, потому что она описывает взаимное направление прямых. Например, можно взять две скрещивающиеся прямые и через одну точку провести параллели к ним, образующие прямой угол. Полученный угол равен 90°, хотя сами исходные прямые не встречаются.

Параллельная замена сохраняет величину угла: если одну прямую заменить любой прямой, параллельной ей, направление этой прямой останется тем же. Поэтому угол с другой прямой не изменится. Это удобно, когда новая прямая пересекает вторую в доступной точке и позволяет построить угол без изменения исходной задачи.

Чтобы установить перпендикулярность, через точку пересечения одной исходной прямой и параллели к другой проводят нужную пару прямых. Затем проверяют, равен ли меньший угол между ними 90°. Если параллельная прямая перпендикулярна второй исходной, то и исходные направления образуют прямой угол. Такой приём особенно полезен для скрещивающихся прямых.

Угол между прямыми и перпендикулярность в пространстве

Сначала определите, пересекаются ли прямые или скрещиваются, а затем выберите подходящий способ построения угла. При проверке перпендикулярности ищите прямой угол между исходными прямыми либо между удобными параллельными им.

Разбор задач

Задача 1. В кубе определите угол между двумя пересекающимися рёбрами, выходящими из одной вершины. Требуется установить их направление, не полагаясь только на перспективное изображение. Рёбра лежат в одной грани куба, которая является квадратом.

1. Выберем грань, содержащую оба ребра.
2. У квадратной грани соседние стороны пересекаются под прямым углом.
3. Следовательно, меньший угол между заданными рёбрами равен 90°.

Ответ: 90°; рёбра перпендикулярны.

Задача 2. В кубе найдите угол между скрещивающимися прямыми, содержащими заданные рёбра. Обозначим рёбра как AB и CG, где ABCD и EFGH — параллельные грани куба, а рёбра AE, BF, CG, DH соединяют их соответствующие вершины. Прямые AB и CG скрещиваются, поэтому непосредственно их не измеряем.

1. Через точку C проведём прямую, параллельную AB. В кубе ребро CD параллельно AB.
2. Прямые CD и CG пересекаются в точке C; они являются параллельными копиями исходных направлений.
3. Рёбра CD и CG соседние стороны квадратной грани CDHG, значит, угол между ними равен 90°.

Ответ: угол между прямыми AB и CG равен 90°.

Задача 3. Докажите: две скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если одна из них параллельна прямой, перпендикулярной второй. Пусть a и b — скрещивающиеся прямые, а a₁ ∥ a и a₁ ⟂ b. Нужно связать угол между a и b с углом между пересекающимися прямыми.

1. Поскольку a и b скрещиваются, проведём через точку прямой b прямую a₁, параллельную a.
2. По условию a₁ перпендикулярна b, поэтому угол между ними равен 90°.
3. Угол между a и b определяется как угол между параллельными им пересекающимися прямыми; значит, он тоже равен 90°.

Ответ: a ⟂ b по определению перпендикулярных прямых в пространстве.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что перпендикулярные прямые обязательно пересекаются. Так происходит, если переносить на пространство только привычную картину с плоскости. Проверьте, как определён угол: он может быть задан через пересекающиеся параллели, поэтому исходные прямые вправе быть скрещивающимися.

Нельзя определять угол между скрещивающимися прямыми по их видимому расположению на рисунке. Перспектива искажает направления, и изображённый угол может не совпадать с настоящим. Постройте через одну точку прямые, параллельные исходным, и определяйте угол между ними.

Не любой угол при пересечении прямых принимают за угол между ними: обычно выбирают меньший, не превышающий 90°. Путаются потому, что на рисунке часто видны сразу два разных угла. Сравните их величины и выберите меньшую; при перпендикулярности она должна составлять 90°.

Замена прямой на параллельную ей не меняет угол, хотя расположение на рисунке становится другим. Ошибочно считать, что новый угол обязан отличаться, потому что прямые пересеклись в другой точке. Проверьте направления: параллельность сохраняет их, а значит, сохраняется и величина угла.

Связь с другими темами

Для работы с углами между прямыми нужны определения параллельных и пересекающихся прямых, а также свойства углов на плоскости. Понятие перпендикулярности прямых в пространстве служит основой для изучения перпендикулярности прямой и плоскости. Способ находить угол через параллельные прямые пригодится далее при изучении углов между плоскостями и решении задач о пространственных фигурах.

Что запомнить

• Угол между прямыми в пространстве определяют через пересекающиеся прямые, параллельные данным.
• Угол между прямыми не зависит от выбора точки, через которую проводят параллельные.
• Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°.
• Перпендикулярные прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Параллельную прямую можно использовать вместо исходной при определении угла.
• Меньший угол между прямыми не превышает 90°.