15. Перпендикулярные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Перпендикулярными в пространстве называют прямые, угол между которыми равен 90°. Они могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися. Поэтому отсутствие общей точки само по себе не мешает прямым быть перпендикулярными. Определение позволяет говорить о прямом угле между любыми двумя прямыми, а не только между сторонами плоского чертежа.

Угол между прямыми — это меньший угол, который образуют пересекающиеся прямые, параллельные данным. Если сами прямые пересекаются, их угол уже можно измерить непосредственно; если они скрещиваются, сначала строят нужную пару параллельных прямых. Так определение сводит пространственный случай к знакомому плоскому углу. Именно его величину используют, чтобы установить перпендикулярность.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их нельзя продолжить так, чтобы они встретились, как это происходит у непараллельных прямых в одной плоскости. Однако угол между ними всё же определён: его находят по параллельным пересекающимся прямым. Это нужно, чтобы сравнивать направления прямых, даже когда они расположены на разных участках пространства.

Параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если одна из них параллельна прямой, перпендикулярной другой, она тоже перпендикулярна этой другой прямой. Причина в том, что замена прямой параллельной ей не меняет угол. Это свойство помогает переносить известный прямой угол к прямой, с которой удобнее работать.

Как это устроено

Чтобы определить угол между скрещивающимися прямыми, через произвольную точку проводят две прямые: одну параллельно первой исходной, другую — второй. Построенные прямые пересекаются в выбранной точке, поэтому между ними можно определить обычный плоский угол. Параллельность сохраняет направления исходных прямых, а значит, построенный угол передаёт именно их взаимный наклон. Выбор точки не меняет направления параллельных прямых, поэтому величина угла остаётся той же.

Это определение позволяет применять понятие перпендикулярности и к прямым без общей точки. Если требовать, чтобы перпендикулярные прямые обязательно пересекались, скрещивающуюся пару нельзя было бы описать через прямой угол. Построение параллельных прямых устраняет эту трудность: вместо исходных объектов рассматривают пересекающиеся, сохраняя их направления. Так свойства углов в плоскости становятся применимы к прямым в пространстве.

Если угол между двумя прямыми равен 90°, прямые перпендикулярны независимо от того, пересекаются они или скрещиваются. В первом случае прямой угол образуют сами прямые. Во втором — прямые, проведённые через одну точку параллельно исходным. Значит, в обоих случаях условие перпендикулярности проверяют по одной и той же величине — углу между направлениями.

Замена прямой параллельной ей не меняет угол, потому что стороны нового угла соответственно параллельны сторонам исходного. Такие углы равны, если направления сторон согласованы; при необходимости берут меньший угол между прямыми. Поэтому можно переносить прямую, не меняя искомую величину. Это превращает пространственную задачу в удобную для рассуждения конфигурацию.

При решении задачи полезно провести параллельные прямые через точку, где уже известны нужные углы или пересекаются другие линии. Например, скрещивающуюся прямую можно заменить параллельной ей так, чтобы она пересекла вторую прямую. Затем угол находят из свойств получившегося плоского чертежа, а результат переносят на исходную пару. Важно при построении сохранить параллельность обеим исходным прямым, если заменяются обе.

Как определяют угол и перпендикулярность прямых в пространстве

Сначала определите, как расположены прямые, а затем выберите соответствующий способ построения угла. Для скрещивающихся прямых ищите удобную точку и параллельные направления; для пересекающихся дополнительных построений не требуется. Последняя строка таблицы — общий критерий перпендикулярности в обоих случаях.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить, перпендикулярны ли AB и CC₁. Прямые AB и CC₁ не имеют общей точки, поэтому по одному чертежу прямой угол между ними не виден. Перенесём одну из прямых параллельно самой себе, чтобы получить пересекающуюся пару. Из свойств куба можно использовать равенство направлений рёбер, выходящих из основания.

1. В кубе CC₁ параллельна AA₁: это соответствующие рёбра боковых граней.
2. AB пересекает AA₁ в точке A, причём они являются смежными рёбрами квадратной грани ABB₁A₁.
3. Смежные стороны квадрата перпендикулярны, значит, угол между AB и AA₁ равен 90°.
4. Так как AA₁ параллельна CC₁, угол между AB и CC₁ такой же.

Ответ: AB и CC₁ перпендикулярны, хотя не пересекаются. Задача 2. В том же кубе найти угол между скрещивающимися AB и B₁C₁. Чтобы свести поиск к углу пересекающихся прямых, заменим B₁C₁ параллельной ей прямой, проходящей через точку B. В основании куба направление этой прямой задаёт ребро BC.

1. Верхнее ребро B₁C₁ параллельно ребру BC нижнего основания.
2. Прямые AB и BC пересекаются в B и являются смежными сторонами квадратной грани ABCD.
3. Угол ABC равен 90°, поэтому угол между AB и BC равен 90°.
4. Поскольку BC параллельна B₁C₁, найденный угол равен углу между исходными прямыми.

Ответ: 90°. Задача 3. В тетраэдре ABCD известно, что AB перпендикулярна AC, а прямая l параллельна AB и не пересекает AC. Докажем, что l перпендикулярна AC. Здесь нельзя требовать пересечения l и AC: достаточно сравнить их угол с известным углом между AB и AC.

1. Так как l параллельна AB, угол между l и AC равен углу между AB и AC.
2. По условию AB перпендикулярна AC, значит, угол между этой парой равен 90°.
3. Следовательно, угол между l и AC также равен 90°, даже если l и AC скрещиваются.

Ответ: l перпендикулярна AC по определению перпендикулярных прямых в пространстве.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что перпендикулярными бывают только пересекающиеся прямые. Так думают, потому что прямой угол привычно изображают общей вершиной, но в пространстве угол определяют и для скрещивающихся прямых. Проверьте себя: если прямые не пересекаются, можно построить через одну точку параллельные им прямые и проверить угол между ними.

Ошибка: измерять угол между скрещивающимися прямыми прямо на рисунке. Пространственный чертёж плоский, поэтому он может искажать реальные углы и расстояния. Сначала постройте пересекающиеся прямые, параллельные исходным, и определяйте угол уже между ними.

Ошибка: выбрать при построении не тот угол, потому что достаточно провести лишь какие-то пересекающиеся прямые. На деле обе стороны построенного угла должны быть параллельны соответствующим исходным прямым; иначе получится другая пара направлений. Перед вычислением проверьте отдельно каждую параллельность и убедитесь, что берёте меньший угол между прямыми.

Ошибка: делать вывод о перпендикулярности только по внешнему виду пространственного чертежа. Видимый на плоскости угол может не соответствовать пространственному углу, а линии могут казаться пересекающимися или перпендикулярными случайно. Обоснуйте вывод известным прямым углом и параллельностью либо данными о взаимном расположении прямых.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны знания о взаимном расположении прямых в пространстве и свойствах параллельных прямых. Понятие угла и прямого угла переносится сюда из планиметрии, но применяется также к скрещивающимся прямым. Позже перпендикулярность прямых поможет разбирать перпендикулярность прямой и плоскости. Она также понадобится в задачах на углы между объектами в пространстве.

Что запомнить

• Угол между прямыми в пространстве определяют через пересекающиеся прямые, параллельные данным.
• Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбранной точки построения.
• Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.
• Перпендикулярные прямые в пространстве могут не пересекаться.
• Если заменить одну прямую параллельной ей, угол между прямыми не изменится.
• Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми удобно сначала построить параллельные им пересекающиеся прямые.