§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения. Записывают a ⟂ α, где a — прямая, α — плоскость. Такое определение учитывает не одно, а все направления, которые есть в плоскости. Оно позволяет точно описать, что значит «прямая входит в плоскость под прямым углом».

Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется основанием перпендикуляра. Если прямая AH перпендикулярна плоскости α и пересекает её в H, то H — основание перпендикуляра, а AH — перпендикуляр. Эта точка нужна, чтобы обозначить, куда именно опущена прямая на плоскость. В дальнейшем расстояние от точки до плоскости измеряют длиной такого отрезка.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Проверять прямую относительно каждой прямой плоскости не требуется. Достаточно найти подходящую пару пересекающихся прямых и доказать два прямых угла. Это основной способ обосновать перпендикулярность в пространственной задаче.

Как это устроено

В плоскости через одну точку можно провести прямые в разных направлениях. Перпендикулярность к одной из них ещё не означает перпендикулярности к другой: например, прямая может составлять прямой угол с горизонтальным направлением, но не с наклонным. Поэтому в определении говорят обо всех прямых плоскости через точку пересечения. Так исключается случай, когда прямой угол получился лишь в одном выбранном направлении.

Проверять все прямые плоскости нельзя: их бесконечно много. Две пересекающиеся прямые задают направления плоскости, а их точка пересечения задаёт положение этих направлений. Если рассматриваемая прямая перпендикулярна обеим, то по признаку она перпендикулярна плоскости. Поэтому бесконечное число проверок заменяется двумя, но важно, чтобы прямые действительно пересекались и принадлежали этой плоскости.

Пусть две прямые перпендикулярны одной плоскости. Каждая из них перпендикулярна прямым этой плоскости, проходящим через её точку пересечения с плоскостью. Следовательно, обе имеют направление, перпендикулярное направлениям плоскости; такое направление для данной плоскости единственно. Значит, прямые имеют одно направление и параллельны, даже если пересекают плоскость в разных точках.

Через любую точку пространства можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной плоскости. Существование связано с тем, что у плоскости есть единственное направление, перпендикулярное всем её направлениям. Единственность следует из того, что две такие прямые были бы параллельны, а через заданную точку проходит только одна прямая с данным направлением. Если точка лежит в плоскости, эта прямая проходит через неё как через основание.

На чертеже сначала определяют, какая плоскость рассматривается, затем находят в ней две пересекающиеся прямые. После этого отдельно доказывают, что искомая прямая перпендикулярна первой и второй, например используя уже известные углы или свойства фигур. Только после этих проверок применяют признак. Перспективный рисунок помогает увидеть возможные связи, но не заменяет обоснование.

Определение, признак и следствия перпендикулярности прямой и плоскости

Сначала определите, какое условие дано в задаче: полное определение или более удобный признак. Для доказательства обычно используют строку о двух пересекающихся прямых, а для вывода о взаимном расположении двух прямых — следствие о параллельности. Проверьте, что все прямые, упомянутые в условии признака, лежат именно в одной плоскости.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α через точку H проходят пересекающиеся прямые b и c. Известно, что a ⟂ b и a ⟂ c, причём a пересекает α в H. Докажите, что a ⟂ α. Здесь уже выделена пара прямых, подходящая для применения признака.

1. Прямые b и c лежат в плоскости α и пересекаются в H.
2. По условию a перпендикулярна обеим прямым b и c.
3. Применяем признак перпендикулярности прямой и плоскости: a ⟂ α.

Ответ: a ⟂ α по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Задача 2. Прямая a перпендикулярна плоскости α, и прямая b тоже перпендикулярна α. Докажите, что a и b параллельны. В условии не указано, что прямые пересекаются, поэтому начинать с поиска их общей точки не нужно. Используем свойство двух прямых, перпендикулярных одной плоскости.

1. По условию a ⟂ α и b ⟂ α.
2. Обе прямые перпендикулярны направлениям плоскости α, поэтому имеют одно и то же направление, нормальное к α.
3. Следовательно, a и b параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 3. Прямые AB и AC пересекаются в A и лежат в плоскости α. Прямая AH проходит через A, причём AH ⟂ AB и AH ⟂ AC. Докажите, что AH перпендикулярна любой прямой плоскости α, проходящей через A. Требуется показать не отдельные углы, а перпендикулярность всей плоскости. Для этого достаточно воспользоваться признаком.

1. Прямые AB и AC лежат в α и пересекаются в A.
2. По условию AH перпендикулярна обеим этим прямым, а точка A принадлежит α и AH.
3. По признаку AH ⟂ α. По определению AH перпендикулярна каждой прямой плоскости α, проходящей через A.

Ответ: AH перпендикулярна любой прямой плоскости α через A.

Типичные ошибки

Считать достаточной перпендикулярность к одной прямой плоскости — ошибка: одна прямая показывает только одно направление. Её допускают, потому что на рисунке выбранная прямая может казаться представительной для всей плоскости. Проверьте, есть ли в доказательстве ещё одна пересекающаяся с ней прямая плоскости и доказан ли прямой угол с обеими.

Применять признак к двум параллельным прямым нельзя: по ним не проверены два независимых направления плоскости. Параллельность часто принимают за достаточное условие, поскольку обе прямые лежат в одной плоскости. Убедитесь, что выбранная пара действительно пересекается; иначе признак не применим.

Забывать о точке пересечения прямой с плоскостью — значит пропустить условие определения. Такая ошибка появляется, когда на чертеже прямая выглядит наклонённой к плоскости, и кажется, что этого достаточно. Проверьте, установлено ли, что прямая имеет с плоскостью общую точку; если нет, утверждать перпендикулярность по определению нельзя.

Объявлять прямые перпендикулярными только по виду рисунка ненадёжно: объёмное изображение может искажать углы и взаимное расположение. Особенно легко ошибиться, если прямые показаны под прямым углом на листе, хотя их пространственные направления не доказаны. Для самопроверки найдите основания рассуждения: условие, известное свойство или признак, а не визуальное впечатление.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны представления о прямых и плоскостях в пространстве, пересечении и параллельности прямых, а также о прямом угле. Признак перпендикулярности помогает переходить от свойств двух прямых к выводу о целой плоскости. Позже перпендикуляр понадобится для нахождения расстояния от точки до плоскости и для различения перпендикуляра и наклонной. Тот же способ доказательства используют в задачах о перпендикулярности плоскостей и других пространственных отношениях.

Что запомнить

• Запись a ⟂ α означает, что прямая a перпендикулярна плоскости α.
• Перпендикуляр к плоскости пересекает её в основании перпендикуляра.
• Чтобы доказать перпендикулярность прямой плоскости, достаточно проверить перпендикулярность к двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
• Через заданную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная заданной плоскости.