Вопросы к главе I

Определения и обозначения

Аксиома стереометрии — исходное утверждение о точках, прямых и плоскостях в пространстве, которое принимают без доказательства. Например, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Аксиомы служат основой доказательств, как правила игры задают допустимые ходы.

Следствие из аксиом — утверждение, которое получают логическим рассуждением, опираясь на аксиомы. Так доказывают, например, что прямая и точка вне неё однозначно задают плоскость. Это позволяет использовать известные правила в задачах, не доказывая их заново каждый раз.

Параллельные прямые в пространстве — прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости. Условие об общей плоскости отличает их от другого вида непересекающихся прямых. Оно нужно, чтобы правильно переносить знакомое из планиметрии понятие параллельности на пространство.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Они могут идти в разных направлениях в пространстве, не встречаясь. Это понятие помогает описывать случаи, которых на плоском чертеже быть не может.

Как это устроено

В стереометрии рассматривают точки, прямые и плоскости, а аксиомы устанавливают связи между ними. Например, если две точки принадлежат плоскости, то проходящая через них прямая также лежит в ней. Благодаря таким правилам можно строить рассуждения о пространственных фигурах, используя знакомые из планиметрии свойства прямой и плоскости. Новые аксиомы дополняют эти свойства, а не отменяют их.

Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость потому, что через любые две из них можно провести прямую, а третья точка не принадлежит этой прямой. Аксиома утверждает, что для такой тройки существует ровно одна плоскость. Существование означает, что плоскость можно провести, единственность — что другой плоскости через те же точки нет. Поэтому в доказательстве достаточно указать три такие точки, чтобы определить плоскость.

Если даны прямая и точка вне неё, выберем на прямой две точки и добавим к ним данную точку. Полученные три точки не лежат на одной прямой, значит, через них проходит ровно одна плоскость; она содержит и исходную прямую, и точку. Для двух пересекающихся прямых рассуждение похоже: на каждой выберем по точке, отличной от точки пересечения. Эти точки вместе с пересечением не лежат на одной прямой, поэтому определяют единственную плоскость, содержащую обе прямые.

Две прямые могут пересекаться, не пересекаться в одной плоскости или не пересекаться и не иметь общей плоскости. Первые две ситуации относятся к планиметрии: прямые либо имеют общую точку, либо параллельны. Третья возможна только в пространстве и называется скрещиванием. Поэтому, чтобы назвать непересекающиеся прямые параллельными, нужно дополнительно доказать, что они лежат в одной плоскости.

Если две различные плоскости имеют общую точку, через неё проходит их линия пересечения. Действительно, при наличии общей точки они не параллельны, а две различные плоскости не могут совпасть; их общие точки образуют прямую. При доказательстве сначала устанавливают, какой плоскости принадлежат нужные точки или прямые, и только затем применяют это утверждение. Так принадлежность объектов плоскостям помогает обосновать, где именно проходит пересечение.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала выясните, имеют ли прямые общую точку. Если нет, проверьте, лежат ли они в одной плоскости: при положительном ответе прямые параллельны, при отрицательном — скрещиваются. На рисунке это может быть неочевидно, поэтому вывод лучше обосновывать свойствами плоскостей и заданных фигур.

Разбор задач

Задача 1. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Определите, сколько плоскостей проходит через них. Важно проверить условие о расположении точек: именно оно позволяет воспользоваться соответствующей аксиомой стереометрии.

1. По условию точки не лежат на одной прямой.
2. Для трёх таких точек аксиома утверждает существование плоскости, проходящей через них.
3. Та же аксиома устанавливает единственность этой плоскости.

Ответ: через данные точки проходит ровно одна плоскость. Нельзя получить несколько разных плоскостей, содержащих все три точки.

Задача 2. Прямые a и b пересекаются в точке O. Точка A не принадлежит этим прямым. Определите, задают ли a, b и A единственную плоскость. Пересекающиеся прямые сами определяют плоскость, поэтому нужно отдельно проверить положение A относительно неё.

1. Поскольку a и b пересекаются, через них проходит ровно одна плоскость α.
2. Если A принадлежит α, все три объекта лежат в этой плоскости, и плоскость задана однозначно.
3. Если A не принадлежит α, плоскости, содержащей одновременно a, b и A, нет.
4. Условие сообщает только, что A не лежит на прямых, но не говорит, принадлежит ли она α.

Ответ: однозначно определить принадлежность A плоскости α по условию нельзя. Три объекта задают общую плоскость только тогда, когда A лежит в плоскости прямых a и b.

Задача 3. Различные плоскости α и β имеют общую точку A. Докажите, что их пересечение является прямой, и установите, какие из данных точек лежат на этой прямой. В условии названа только одна общая точка, поэтому о других конкретных точках можно говорить лишь при известной принадлежности обеим плоскостям.

1. Так как A принадлежит α и β, плоскости имеют общую точку.
2. Плоскости различны, следовательно, они не совпадают; по свойству стереометрии их пересечение — прямая l.
3. Точка A принадлежит l, поскольку она общая для α и β.
4. Любая другая данная точка лежит на l, если она принадлежит одновременно α и β; принадлежности только одной плоскости недостаточно.

Ответ: α ∩ β = l, причём A ∈ l. Другие общие точки плоскостей также лежат на l, но определить наличие таких точек без дополнительных данных нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые две непересекающиеся прямые параллельными. Так рассуждают по аналогии с планиметрией, где прямые рассматриваются в одной плоскости. В пространстве прямые могут быть скрещивающимися. Проверьте, можно ли указать плоскость, содержащую обе прямые: без неё параллельность не доказана.

Ошибка: утверждать, что через любые три точки проходит единственная плоскость. Это верно, только если точки не лежат на одной прямой; если они коллинеарны, через эту прямую можно провести много плоскостей. Перед применением аксиомы проверьте расположение точек. Если условие этого не уточняет, случай трёх точек на одной прямой тоже нужно учитывать.

Ошибка: считать, что принадлежность одной точки плоскости доказывает принадлежность всей прямой. Точка может лежать в плоскости, а прямая проходить через неё и уходить из плоскости. Чтобы доказать, что прямая лежит в плоскости, обычно достаточно установить принадлежность плоскости двух её точек. Проверьте, о чём именно говорится: об отдельной точке или обо всей прямой.

Ошибка: допускать, что две различные плоскости пересекаются только в одной точке. Если у них есть общая точка, их пересечение является прямой, а значит, общих точек бесконечно много. Вероятно, здесь путают пересечение плоскостей с пересечением прямой и плоскости. Проверьте, какие именно объекты пересекаются и различны ли плоскости.

Связь с другими темами

Для работы со стереометрией понадобятся понятия точки, прямой, плоскости и параллельности из планиметрии. Пространственные аксиомы дают основу для следующих тем: по ним изучают параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Умение определять взаимное расположение объектов помогает строить доказательства и решать задачи о многогранниках и других фигурах. Поэтому сначала полезно научиться обосновывать, какие объекты принадлежат одной плоскости.

Что запомнить

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
• Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость.
• Через прямую и не лежащую на ней точку проходит ровно одна плоскость.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
• Пересечение двух различных плоскостей, имеющих общую точку, — прямая.