1.1. Перпендикулярные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Угол между прямыми в пространстве — меньший угол между пересекающимися прямыми, проведёнными через одну точку параллельно данным. Его обозначают так же, как обычный угол, например ∠(a, b). Такое определение позволяет сравнить направления прямых, даже если они не имеют общей точки, и сводит пространственную задачу к знакомому углу на плоскости.

Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°. Для этого им необязательно пересекаться: прямые могут быть скрещивающимися, если угол между ними, определённый через параллельные, прямые составляет 90°. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное расположение любых прямых в пространстве, а не только тех, что лежат в одной плоскости.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Они отличаются и от пересекающихся, и от параллельных прямых. Понятие помогает распознать случаи, когда угол нельзя получить непосредственно из исходной пары, и понять, зачем при его определении проводят параллельные прямые.

Как это устроено

Чтобы найти угол между непересекающимися прямыми, через произвольную точку проводят прямые, параллельные каждой из них. Построенные прямые пересекаются, поэтому угол между ними можно определить обычным способом. Если выбрать другую точку, направления обеих параллельных прямых не изменятся, а вместе с ними не изменится и угол: параллельный перенос сохраняет величину углов.

Такое определение распространяет понятие перпендикулярности на прямые, которые не пересекаются. Иначе выражение «угол между прямыми» можно было бы понимать только для пересекающихся прямых, а для скрещивающихся оно оставалось бы неопределённым. Теперь достаточно построить пару параллельных прямых с общей точкой и проверить, равен ли их меньший угол 90°.

Если две прямые параллельны соответственно двум другим, то углы между соответствующими парами равны. Причина в том, что при замене прямых параллельными им направления сохраняются, а величина угла зависит именно от направлений. Это связывает пространственное определение с привычными свойствами углов при параллельных прямых и позволяет переносить известные результаты планиметрии на задачи о пространственных фигурах.

Пусть две прямые параллельны и одна из них перпендикулярна третьей. Угол между первой и третьей равен 90°, а из-за параллельности такой же угол образует со третьей и вторая прямая. Значит, вторая тоже перпендикулярна третьей. Это свойство удобно, когда одна из параллельных прямых пересекает нужную прямую, а другая расположена в более сложной части фигуры.

Поэтому для проверки перпендикулярности часто не нужно строить угол между исходными прямыми прямо на чертеже. Одну прямую заменяют параллельной ей так, чтобы новая прямая проходила через точку другой. Затем рассматривают угол в получившейся плоской фигуре и используют её свойства. Способ особенно полезен в многогранниках: параллельные рёбра и грани дают возможность перенести задачу к знакомому треугольнику или прямоугольнику.

Взаимное расположение прямых и угол между ними

Сначала определите, как расположена пара прямых, а затем воспользуйтесь соответствующим способом из таблицы. Для пересекающихся прямых сразу сравнивают углы при пересечении, а для скрещивающихся сначала строят параллельные. В последнем столбце указано, когда полученный угол означает перпендикулярность.

Разбор задач

Задача 1. Угол между рёбрами куба

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить угол между прямыми AB и B₁C₁. Прямые не пересекаются, поэтому нельзя измерять угол между изображёнными на чертеже отрезками. Нужно заменить одну из прямых параллельной ей так, чтобы она пересекла другую. В основании куба ABCD лежит квадрат, свойства которого помогут найти угол.

1. В боковой грани куба BCC₁B₁ противоположные рёбра параллельны, поэтому B₁C₁ ∥ BC.
2. Значит, угол между AB и B₁C₁ равен углу между AB и BC. Эти рёбра пересекаются в точке B и являются соседними сторонами квадрата ABCD.
3. Угол ABC равен 90°, поскольку все углы квадрата прямые.

Ответ: 90°.

Задача 2. Перпендикулярность рёбер куба

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ доказать, что AB ⟂ A₁D₁. Эти прямые не пересекаются, но для доказательства достаточно найти угол между AB и прямой, параллельной A₁D₁ и проходящей через точку A. В основании куба уже есть ребро с нужным направлением, поэтому задача сводится к свойству квадрата.

1. Грань A₁B₁C₁D₁ — квадрат, поэтому A₁D₁ ∥ AD.
2. По определению угла между прямыми ∠(AB, A₁D₁) = ∠(AB, AD): вместо A₁D₁ можно рассматривать параллельную ей прямую AD.
3. AB и AD — соседние стороны квадрата ABCD, следовательно, AB ⟂ AD. Значит, угол между AB и A₁D₁ равен 90°.

Ответ: AB ⟂ A₁D₁.

Задача 3. Угол в правильной треугольной призме

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ найти угол между AB и BC₁. Правильная призма имеет равностороннее основание и боковые рёбра, перпендикулярные основанию. Обозначим длину ребра основания через a, а высоту призмы через h: без этих размеров числовое значение угла определить нельзя. Здесь прямые пересекаются в B, поэтому построение параллельной прямой не требуется.

1. Рассмотрим треугольник BCC₁. В нём BC = a, CC₁ = h, а ∠BCC₁ = 90°, потому что CC₁ перпендикулярно плоскости основания. По теореме Пифагора BC₁ = √(a² + h²).
2. Так как ABC — равносторонний треугольник, ∠ABC = 60°. Угол между AB и BC₁ обозначим α. Скалярная проекция BC₁ на направление BA равна проекции BC, то есть a cos 60° = a/2: отрезок CC₁ перпендикулярен основанию.
3. Следовательно, cos α = (a/2) / √(a² + h²) = a / (2√(a² + h²)). Отсюда α = arccos(a / (2√(a² + h²))). Угол зависит от отношения высоты к ребру основания.

Ответ: arccos(a / (2√(a² + h²))); для числового ответа нужны значения a и h.

Типичные ошибки

• Считать, что перпендикулярными бывают только пересекающиеся прямые. Так думают, потому что в плоских задачах прямой угол обычно виден в точке пересечения. В пространстве угол определяют и для скрещивающихся прямых; проверьте себя, проведя через одну точку параллельные им прямые.
• Путать угол между скрещивающимися прямыми с углом между отрезками на рисунке. Отрезки могут быть расположены в разных плоскостях и не образовывать искомого угла. Проверьте построение: обе вспомогательные прямые должны проходить через одну точку и быть параллельны исходным.
• Выбирать больший угол. Между прямыми по определению берут меньший угол, не превышающий 90°, поэтому выбор большего может изменить ответ. Сравните оба угла при пересечении и возьмите тот, который меньше или равен прямому.
• Делать вывод о перпендикулярности по внешнему виду чертежа. При изображении пространства углы и длины могут искажаться, и прямой угол может выглядеть острым или тупым. Проверяйте вывод свойствами фигуры или вычислением, а не только рисунком.

Связь с другими темами

Для работы с углами в пространстве нужны определение угла между пересекающимися прямыми и свойства параллельных прямых, изученные в планиметрии. В частности, равенство углов при параллельных прямых объясняет, почему можно заменить прямую параллельной ей. Понятие перпендикулярности прямых пригодится при изучении перпендикулярности прямой и плоскости, а также при вычислении углов в многогранниках. Оно помогает сводить пространственные задачи к знакомым плоским фигурам.

Что запомнить

• Угол между прямыми в пространстве сводят к углу между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку.
• Угол между прямыми — меньший из углов, образованных соответствующими пересекающимися прямыми.
• Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°.
• Перпендикулярными могут быть и скрещивающиеся прямые.
• Параллельные прямые образуют угол 0°.
• Если одна из параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и другая перпендикулярна ей.