"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Проверять это определение по множеству прямых неудобно, поэтому используют теорему-признак: достаточно найти в плоскости две пересекающиеся прямые и доказать, что заданная прямая перпендикулярна каждой из них. Этот способ помогает обосновывать пространственные построения и находить перпендикуляры к плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Например, запись l ⟂ α означает, что прямая l перпендикулярна плоскости α. Определение описывает требуемое свойство, хотя на практике проверить его по всем прямым плоскости невозможно.
Основание перпендикуляра — точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости, с этой плоскостью. Если l ⟂ α и пересекает α в точке O, то O — основание перпендикуляра. Эта точка нужна, чтобы понимать, через какую точку плоскости проходят прямые, с которыми сравнивают l.
Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости, утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Признаком перпендикулярности прямой и плоскости называют достаточное условие, по которому перпендикулярность устанавливают через эти две прямые. Слово «достаточное» означает, что выполненных условий уже хватает для вывода.
Перпендикулярность одной прямой плоскости нельзя установить проверкой только одной прямой внутри неё. Заданная прямая может образовать прямой угол с выбранным направлением и при этом быть наклонной к плоскости в другом направлении. Поэтому одной удачной проверки недостаточно: она подтверждает перпендикулярность лишь одной прямой.
По определению нужно, чтобы прямая была перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Таких прямых бесконечно много, поэтому проверять их по очереди нельзя. Определение задаёт полный смысл перпендикулярности, а теорема позволяет подтвердить его конечным числом проверок.
Теорема гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Условие о пересечении обязательно: общая точка помогает получить два направления внутри одной плоскости. Параллельная пара такой опоры не даёт, поэтому применять к ней теорему нельзя.
Идея доказательства связана с тем, что две пересекающиеся прямые задают направления плоскости. Прямая, перпендикулярная обеим, направлена поперёк каждого из этих направлений, а значит, поперёк плоскости. В строгом доказательстве этот вывод обосновывают свойствами углов между прямыми, но сам признак позволяет свести проверку к двум прямым.
В пространственном чертеже сначала выдели плоскость, к которой нужно доказать перпендикулярность. Затем найди в ней две пересекающиеся прямые и отдельно обоснуй, что заданная прямая перпендикулярна каждой из них. Проверь также, что обе выбранные прямые действительно принадлежат нужной плоскости: без этого условия теорему применить нельзя.
| Что известно | Что требуется проверить | Вывод |
|---|---|---|
| Прямая и плоскость, для которой проверяют перпендикулярность | Найти в этой плоскости две прямые | Их принадлежность плоскости |
| Две прямые лежат в рассматриваемой плоскости | Проверить, что они пересекаются | Их общая точка и два направления плоскости |
| Две пересекающиеся прямые лежат в плоскости | Проверить перпендикулярность заданной прямой каждой из них | Заданы условия теоремы |
| Заданная прямая перпендикулярна обеим выбранным прямым | Применить теорему | Прямая перпендикулярна плоскости |
Используй таблицу как последовательность проверок: сначала установи принадлежность и пересечение прямых, затем докажи два прямых угла. Только после этого формулируй вывод о перпендикулярности плоскости. Если хотя бы одно условие не подтверждено, признак пока не применим.
Задача 1. В плоскости α прямые a и b пересекаются в точке O. Прямая l перпендикулярна и a, и b. Требуется установить взаимное расположение l и α. Здесь обе прямые принадлежат одной плоскости и имеют общую точку, а значит, выполнены условия теоремы.
Ответ: l ⟂ α.
Задача 2. В основании пирамиды лежат пересекающиеся прямые a и b. Боковое ребро SO перпендикулярно обеим. Докажем, что SO перпендикулярно плоскости основания. Главный шаг — не ограничиться словами «это рёбра пирамиды», а точно указать плоскость и проверить все условия признака.
Ответ: боковое ребро SO перпендикулярно плоскости основания.
Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде нужно доказать, что ребро, выходящее из вершины основания, перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро выходит из вершины A, а два ребра основания AB и AD пересекаются в A. По свойствам прямоугольного параллелепипеда рассматриваемое ребро перпендикулярно AB и AD.
Ответ: ребро, выходящее из вершины основания, перпендикулярно плоскости основания.
Недостаточно доказать, что прямая перпендикулярна одной прямой плоскости. Так ошибаются, потому что прямой угол на чертеже выглядит убедительно, но он относится только к одному направлению. Проверь себя: нашлись ли две пересекающиеся прямые плоскости, перпендикулярные заданной прямой?
Нельзя применять теорему к двум параллельным прямым. Их выбирают по ошибке, потому что обе могут быть нарисованы в плоскости, однако условие требует пересечения. Проверь, есть ли у выбранных прямых общая точка; если её нет, подбери другую пару.
Иногда выбранные прямые не лежат в плоскости, перпендикулярность которой доказывают. Это случается, когда на пространственном чертеже путают принадлежность прямых разным граням. Укажи плоскость и для каждой прямой обоснуй, что она ей принадлежит.
Перпендикулярность двух прямых и перпендикулярность прямой плоскости — разные утверждения. Прямой угол между парой прямых сам по себе не доказывает перпендикулярность целой плоскости. Для вывода о плоскости используй определение или теорему-признак и перечисли все нужные условия.
Для работы с теоремой нужны определение перпендикулярных прямых и свойства углов между ними. Также важно уметь определять, принадлежат ли точка и прямая плоскости, и распознавать пересечение прямых. Позже признак помогает строить перпендикуляры к плоскости, находить расстояния в пространстве и доказывать утверждения о пространственных фигурах.
Почему для применения теоремы нужны именно две прямые?
Одна прямая задаёт только одно направление в плоскости, поэтому перпендикулярность ей не исключает наклон прямой к плоскости. Две пересекающиеся прямые задают направления всей плоскости, и перпендикулярность обоим позволяет применить теорему.
Обязательно ли эти две прямые должны пересекаться?
Да, это обязательное условие теоремы. Параллельные прямые не задают двух пересекающихся направлений в плоскости, поэтому по ним нельзя применить этот признак.
Где должна находиться точка пересечения прямых относительно заданной прямой?
Заданная прямая пересекает плоскость в точке, где встречаются выбранные прямые. Если обозначить их общую точку через O, то прямая, перпендикулярная плоскости, проходит через O.
Чем теорема отличается от определения перпендикулярности прямой и плоскости?
Определение говорит, что прямая должна быть перпендикулярна всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения. Теорема даёт удобный способ это доказать: достаточно проверить две пересекающиеся прямые в плоскости.
Как на чертеже понять, какие две прямые выбрать для применения теоремы?
Сначала найди плоскость, перпендикулярность к которой нужно доказать. Затем выбери в ней две явно пересекающиеся прямые, для каждой из которых можно обосновать перпендикулярность заданной прямой.
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
