1.4. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — прямая, перпендикулярная каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения с ней. Если прямая a перпендикулярна плоскости α, пишут a ⟂ α. Это обозначение говорит о перпендикулярности прямой всей плоскости, а не только одной выбранной линии в ней.

Основание перпендикуляра — точка, в которой прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость. Например, если a ⟂ α и O — точка пересечения a с α, то O является основанием перпендикуляра. Название помогает точно указывать место, где прямая входит в плоскость.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. В теореме о перпендикулярности прямой и плоскости требуются именно две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости. Их общая точка задаёт место, в котором сравнивают направления прямой и плоскости.

Как это устроено

Теорема утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Пусть b и c лежат в α, пересекаются в точке O, а a перпендикулярна и b, и c. Тогда заключаем, что a ⟂ α. Теорема превращает проверку всех прямых плоскости в проверку двух подходящих прямых.

Условия нельзя опускать: прямые b и c должны принадлежать одной плоскости и иметь общую точку. Кроме того, прямая a должна быть перпендикулярна каждой из них, а не только одной. Две пересекающиеся прямые задают в плоскости два разных направления, поэтому проверка только одного направления не описывает положение относительно всей плоскости.

Идею доказательства можно представить так: рассматривают произвольную прямую плоскости, проходящую через O, и сравнивают её направление с направлениями b и c. Через выбранные точки проводят параллельные прямые, чтобы получить фигуру, в которой углы с a можно выразить через углы с b и c. Поскольку оба исходных угла прямые, из этих связей следует, что и угол между a и произвольной прямой плоскости прямой. Значит, a перпендикулярна всем таким прямым, что и требуется по определению.

На практике теорема особенно полезна, когда в задаче уже известны прямые углы в пространственной фигуре. Вместо того чтобы проверять прямую a отдельно с каждой прямой α, выбирают две пересекающиеся линии b и c в α. Если удаётся доказать a ⟂ b и a ⟂ c, дальнейшая проверка всех остальных направлений не нужна.

Точка пересечения b и c важна, потому что именно она показывает, что линии действительно задают направления одной плоскости. Через эту точку проходит каждая из прямых плоскости, рассматриваемых при определении перпендикулярности. Сама прямая a также должна проходить через точку плоскости, если она перпендикулярна ей: эта точка является основанием перпендикуляра. Так становится понятно, где именно в пространстве выполняется условие теоремы.

Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости

При решении задачи сначала найдите в нужной плоскости две пересекающиеся прямые. Затем отдельно проверьте перпендикулярность данной прямой к каждой из них. Если обе проверки выполнены и линии действительно пересекаются, можно записать вывод о перпендикулярности плоскости.

Разбор задач

Задача 1. Прямая a перпендикулярна пересекающимся прямым b и c, лежащим в плоскости α. Докажите, что a ⟂ α. Здесь нужные линии уже указаны, поэтому важно не строить дополнительную фигуру, а сверить условие с теоремой.

1. Прямые b и c лежат в плоскости α — первое условие теоремы выполнено.
2. По условию b и c пересекаются, а a перпендикулярна каждой из них. Значит, выполнены оба оставшихся условия.
3. Применяем теорему: a ⟂ α. Ответ: a перпендикулярна плоскости α.

Задача 2. В треугольнике ABC прямые AB и AC лежат в плоскости α и перпендикулярны прямой SA. Докажите, что SA ⟂ α. Стороны треугольника AB и AC имеют общую точку A, поэтому их удобно использовать как две прямые плоскости.

1. AB и AC лежат в α, так как плоскость α содержит треугольник ABC.
2. Они пересекаются в A. По условию SA ⟂ AB и SA ⟂ AC, то есть прямая SA перпендикулярна обеим прямым.
3. Все условия теоремы выполнены, поэтому SA ⟂ α. Ответ: прямая SA перпендикулярна плоскости α.

Задача 3. Прямая d перпендикулярна прямым p и q, лежащим в плоскости α; известно, что p и q параллельны. Можно ли заключить, что d ⟂ α? Чтобы ответить, нужно проверить не только перпендикулярность, но и взаимное положение выбранных прямых.

1. Прямая d действительно перпендикулярна p и q, и обе линии лежат в α.
2. Однако p и q параллельны, поэтому они не являются двумя пересекающимися прямыми. Одно из обязательных условий теоремы отсутствует.
3. Следовательно, применить теорему нельзя и заключить d ⟂ α на основании этих данных нельзя. Не хватает условия, что две прямые плоскости пересекаются; ответ на вопрос задачи — нет.

Типичные ошибки

• Заключать о перпендикулярности плоскости по одной прямой — недостаточно: в плоскости остаются другие направления. Так ошибаются, перенося свойство перпендикулярности к одной линии на всю плоскость. Проверьте себя: указаны ли две пересекающиеся прямые и доказаны ли оба прямых угла?

• Не проверять, пересекаются ли выбранные прямые, — значит пропустить важное условие теоремы. Параллельные прямые могут обе лежать в плоскости и быть перпендикулярными данной, но этого для применения теоремы недостаточно. Перед выводом укажите общую точку прямых.

• Брать две прямые, не лежащие в одной плоскости, нельзя: они не задают нужные направления одной плоскости. Такая ошибка возникает, когда в пространственной фигуре выбирают удобные линии, не проверяя их принадлежность плоскости. Убедитесь, что обе прямые находятся именно в той плоскости, перпендикулярность к которой доказывается.

• Перпендикулярность прямой одной линии плоскости не равна перпендикулярности всей плоскости: второе утверждение сильнее. Путаница появляется из-за сходных формулировок. Для самопроверки различайте записи «a перпендикулярна b» и «a ⟂ α» и применяйте теорему только после проверки её условий.

Связь с другими темами

Перед изучением теоремы нужно знать, что означают перпендикулярные прямые, и уметь пользоваться свойствами параллельных прямых и признаками равенства углов. Эти знания помогают обосновать углы и построения в доказательстве. Позже теорема пригодится при доказательстве перпендикулярности плоскостей и при нахождении расстояний и углов в пространственных фигурах. Поэтому она связывает геометрию прямых с задачами о взаимном положении плоскостей.

Что запомнить

• Для доказательства a ⟂ α достаточно найти в α две пересекающиеся прямые.
• Прямая должна быть перпендикулярна обеим выбранным прямым.
• Обе выбранные прямые должны лежать в одной плоскости.
• Параллельные прямые не подходят для применения теоремы.
• Теорема заменяет проверку перпендикулярности прямой всем прямым плоскости.