19. Расстояние от точки до плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляром к плоскости из точки вне неё называют отрезок, проведённый из этой точки перпендикулярно плоскости. Это означает, что отрезок образует прямой угол с прямыми плоскости, проходящими через его конец. Например, запись AH ⟂ α означает, что AH перпендикулярен плоскости α. Это обозначение помогает сразу распознать прямой угол в пространственной задаче.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Если AH ⟂ α и H принадлежит α, то H — основание перпендикуляра AH. Оно нужно, чтобы обозначить место, от которого измеряют отрезки в плоскости. Например, при изучении наклонной именно от основания H проводят её проекцию.

Наклонной к плоскости называют отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром. Если A находится вне α, а B принадлежит α, то AB может быть наклонной; её длина зависит от положения B. Наклонная нужна для сравнения разных путей от точки до плоскости. В отличие от перпендикуляра, она не задаёт кратчайшее расстояние.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если AH ⟂ α, расстояние от A до α равно AH. Такое определение позволяет однозначно измерить удалённость точки: для одной точки и одной плоскости перпендикуляр единственный. Поэтому в задачах сначала находят или обозначают этот отрезок, а затем вычисляют его длину.

Как это устроено

Через точку, которая не лежит в плоскости, можно провести перпендикуляр к этой плоскости. Он пересекает плоскость в одной точке, поэтому эта точка и является основанием. Основание не может находиться вне плоскости: оно принадлежит ей по самому смыслу пересечения. Таким образом, отрезок от исходной точки до основания направлен прямо к плоскости, а не вдоль неё.

Пусть из точки A вне плоскости α проведена наклонная AB, а AH — перпендикуляр к α. Отрезок HB лежит в плоскости и соединяет основание H с концом наклонной B, поэтому он является проекцией AB на плоскость. AH перпендикулярен любой прямой плоскости, проходящей через H, в том числе HB. Значит, треугольник AHB прямоугольный, и AB в нём — гипотенуза.

Гипотенуза прямоугольного треугольника длиннее каждого катета. В треугольнике AHB это означает, что AB длиннее AH, то есть наклонная длиннее перпендикуляра. Такое сравнение справедливо для любой наклонной из той же точки к той же плоскости: у каждой из них вместе с перпендикуляром и проекцией получается прямоугольный треугольник. Поэтому перпендикуляр — кратчайший отрезок от точки до плоскости.

Расстоянием считают именно длину перпендикуляра, потому что она не зависит от того, какую точку плоскости выбрали для соединения с исходной точкой. Наклонные к разным точкам плоскости имеют разные длины и могут быть произвольно длинными. Они показывают другие отрезки от точки к плоскости, но не минимальное удаление. Перпендикуляр же задаёт одно определённое расстояние.

Если точка уже лежит в плоскости, она совпадает с точкой плоскости, до которой измеряется расстояние. Длина отрезка от точки до неё самой равна нулю. Поэтому расстояние от точки плоскости до этой же плоскости равно 0. Ненулевой перпендикуляр от такой точки к плоскости не нужен: точка уже находится на плоскости.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости

В таблице собраны признаки двух видов отрезков. У наклонной отдельно указана её проекция — отрезок в плоскости от основания перпендикуляра до конца наклонной. Сравнивая строки, можно определить роль каждого отрезка в задаче и выбрать подходящий способ вычисления.

Если требуется расстояние до плоскости, выбирайте столбец «Перпендикуляр». Если нужно найти наклонную, используйте прямоугольный треугольник и теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это помогает не перепутать наклонную с её проекцией.

Разбор задач

Задача 1

Из точки A вне плоскости α опущен перпендикуляр AH. Назовите расстояние от A до α и укажите его основание. Здесь не требуется вычислять длину: нужно правильно применить определение. Обозначения уже сообщают, какой отрезок перпендикулярен плоскости.

1. По определению расстояние от точки A до α равно длине перпендикуляра, проведённого из A.
2. Дан перпендикуляр AH, поэтому расстояние обозначается AH.
3. Перпендикуляр пересекает плоскость α в точке H, следовательно, H — его основание.

Ответ: расстояние от A до α — AH; основание перпендикуляра — точка H.

Задача 2

Из точки A проведены перпендикуляр AH и наклонная AB к плоскости α. Известно, что AH = 5, а HB = 12. Нужно найти AB. Отрезок HB — проекция наклонной, поэтому AH и HB являются катетами прямоугольного треугольника AHB.

1. Так как AH ⟂ α, а HB лежит в α и проходит через H, угол AHB прямой.
2. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
3. Длина отрезка положительна, поэтому AB = √169 = 13.

Ответ: AB = 13. Проверка: гипотенуза 13 длиннее каждого катета — 5 и 12, что соответствует наклонной.

Задача 3

Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AH и наклонные AB и AC. Дано: HB = 6, HC = 8, AH = 3. Требуется сравнить AB и AC. Поскольку перпендикуляр одинаков для обеих наклонных, нужно найти их длины по отдельности и сопоставить результаты.

1. AH перпендикулярен плоскости, а HB и HC лежат в плоскости, поэтому треугольники AHB и AHC прямоугольные при H.
2. Для AB: AB² = AH² + HB² = 3² + 6² = 45, значит, AB = √45 = 3√5.
3. Для AC: AC² = AH² + HC² = 3² + 8² = 73, значит, AC = √73.
4. Так как 73 больше 45, то √73 больше √45. Следовательно, AC > AB.

Ответ: AC длиннее AB. Причина в том, что проекция HC длиннее HB при одном и том же перпендикуляре AH; по теореме Пифагора это даёт большую длину наклонной.

Типичные ошибки

Считать расстоянием до плоскости длину любой наклонной — ошибка: наклонные заканчиваются в разных точках и имеют разные длины. Её допускают, когда замечают, что отрезок просто соединяет точку с плоскостью, но не проверяют угол. Проверка проста: расстояние должно быть длиной перпендикуляра, а наклонная обязана быть длиннее него.

Наклонную не следует путать с её проекцией. Наклонная выходит из точки вне плоскости, тогда как проекция целиком лежит в плоскости и начинается у основания перпендикуляра. Путаница возникает из-за того, что оба отрезка связаны с одним концом наклонной. Проверьте расположение: если отрезок лежит в плоскости, это проекция, а не наклонная.

При вычислении наклонной нельзя складывать длины перпендикуляра и проекции. Эти отрезки — катеты прямоугольного треугольника, поэтому их квадраты складывают, а затем извлекают корень: l = √(h² + p²). Ошибка появляется, если воспринимать отрезки как части одной прямой. Проверка: перпендикуляр и проекция взаимно перпендикулярны, следовательно, применяется теорема Пифагора.

Если точка лежит в плоскости, расстояние до неё не является положительным отрезком. Иногда пытаются провести от этой точки ненулевой перпендикуляр к плоскости, забывая, что точка уже принадлежит ей. Сверьте условие с определением: кратчайшее расстояние от точки до содержащей её плоскости равно нулю. Значит, ответ должен быть 0.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что прямая перпендикулярна плоскости, и уметь находить прямой угол в пространственной фигуре. Проекция отрезка на плоскость помогает построить прямоугольный треугольник, а теорема Пифагора — вычислить его стороны. Позже расстояние от точки до плоскости пригодится при нахождении расстояния между плоскостями и в задачах на объёмные фигуры. Поэтому полезно сначала отметить перпендикуляр и его основание, а затем искать проекцию нужного отрезка.

Что запомнить

• Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра к плоскости.
• Основание перпендикуляра лежит в плоскости.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к плоскости.
• Наклонная, её проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник.
• Квадрат длины наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и её проекции: l² = h² + p².
• Если точка лежит в плоскости, расстояние до неё равно нулю.