1.7. Двугранный угол между плоскостями

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Общая прямая называется ребром, а полуплоскости — гранями. Такое описание позволяет понять, из каких частей состоит пространственный угол.

Ребро двугранного угла — общая прямая двух его граней. Оно служит линией, вдоль которой соединяются полуплоскости. При измерении двугранного угла именно относительно ребра строят нужные перпендикуляры.

Линейный угол двугранного угла — угол, образованный лучами, лежащими в его гранях и перпендикулярными ребру, проведёнными из одной точки ребра. Лучи находятся в разных гранях, поэтому такой угол показывает, насколько одна грань наклонена к другой. Это обычный плоский угол, который можно измерить транспортиром или вычислить.

Угол между плоскостями — меньший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Его величина равна величине линейного угла соответствующего двугранного угла. Такое правило устраняет неоднозначность: две плоскости могут образовать как острый, так и тупой угол.

Как это устроено

Чтобы измерить двугранный угол, сначала выбирают точку на его ребре. Затем в каждой грани проводят из этой точки луч, перпендикулярный ребру. Оба луча лежат в одной плоскости, перпендикулярной ребру, поэтому угол между ними можно рассматривать как обычный плоский угол.

Линейный угол действительно измеряет двугранный, потому что сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру, превращает его грани в две пересекающиеся полупрямые. Их общий конец находится на ребре, а сами полупрямые являются сторонами обычного угла. Поэтому пространственную величину удаётся свести к измерению на плоскости.

Величина линейного угла не зависит от выбранной точки на ребре. Если перенести точку вдоль ребра, то плоскость сечения и лучи можно перенести параллельно самим себе. Соответствующие стороны новых линейных углов будут параллельны прежним, а углы с параллельными сторонами равны.

Если две плоскости пересекаются по прямой, они разбивают пространство на четыре двугранных угла. Углы, расположенные напротив друг друга, равны, а соседние в сумме дают 180°. Поэтому углом между плоскостями выбирают меньший из них, то есть величину от 0° до 90° включительно.

Для вычисления угла между плоскостями не требуется рассматривать любые направления на их поверхностях. Достаточно найти линию пересечения плоскостей, выбрать на ней точку и провести в каждой плоскости прямую, перпендикулярную этой линии. Угол между двумя такими прямыми и будет искомым углом между плоскостями.

Элементы и измерение двугранного угла

Сначала определите, какие плоскости или грани образуют угол, и найдите их общую прямую. Затем используйте вторую и третью колонки: постройте линейный угол и измерьте или вычислите его.

Если в задаче требуется угол между плоскостями, не выбирайте произвольные прямые в этих плоскостях. Их направления должны быть связаны с общей линией пересечения и перпендикулярны ей.

Разбор задач

Задача 1. Построение линейного угла

На рисунке изображён двугранный угол. Требуется указать его грани и ребро, а затем построить линейный угол. Обозначим грани условно α и β, а их общую прямую — l.

1. Назовите полуплоскости α и β гранями двугранного угла.
2. Определите их общую граничную прямую l; это ребро.
3. Выберите точку O на l и проведите в грани α луч OA перпендикулярно l, а в грани β луч OB перпендикулярно l.
4. Угол AOB будет линейным углом, потому что его стороны лежат в разных гранях и обе перпендикулярны ребру.

Ответ: грани — α и β, ребро — l, линейный угол — ∠AOB.

Задача 2. Нахождение величины двугранного угла

Линейный угол двугранного угла равен 65°. Найдите величину двугранного угла. Здесь уже дан угол, специально построенный для измерения двугранного.

1. Вспомните основное свойство: величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
2. Подставьте данное значение линейного угла: 65°.
3. Единица измерения сохраняется, так как сравниваются величины обычных углов.

Ответ: величина двугранного угла равна 65°.

Задача 3. Угол между соседними гранями куба

В кубе найдите угол между плоскостями двух соседних граней и обоснуйте ответ. Соседние грани имеют общее ребро, поэтому именно оно будет линией пересечения их плоскостей.

1. Возьмите общее ребро двух граней куба и выберите на нём вершину O.
2. В каждой грани проведите из O ребро, не совпадающее с общим ребром. Эти два ребра перпендикулярны общему ребру и лежат в соответствующих гранях.
3. В кубе такие рёбра взаимно перпендикулярны, поэтому построенный линейный угол равен 90°.
4. По определению угол между плоскостями равен меньшему двугранному углу, то есть этому линейному углу.

Ответ: угол между плоскостями соседних граней куба равен 90°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать линейным любой угол между лучами в гранях. Её допускают, когда забывают о связи с ребром; проверьте, перпендикулярны ли обе стороны угла ребру.

Ошибка: путать ребро и грани. Ребро — общая прямая двух граней, а не одна из плоскостей; для проверки найдите линию, принадлежащую обеим граням.

Ошибка: брать больший двугранный угол как угол между плоскостями. Обычно это происходит при выборе внешней области; сравните два соседних угла и возьмите меньший.

Ошибка: сравнивать произвольные прямые в гранях. Направления таких прямых могут не отражать наклон плоскостей, поэтому сначала убедитесь, что обе прямые перпендикулярны линии их пересечения.

Связь с другими темами

Для изучения двугранного угла нужны знания о перпендикулярности прямых и плоскостей. Также применяются свойства обычных плоских углов, поскольку линейный угол является плоским.

Понятие используется при изучении углов между гранями многогранников. Оно также помогает решать пространственные задачи на расстояния, перпендикулярность и взаимное расположение прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Две грани двугранного угла имеют общее ребро.
• Линейный угол строят в плоскости, перпендикулярной ребру.
• Стороны линейного угла перпендикулярны ребру и лежат в разных гранях.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Угол между плоскостями — меньший из образованных ими двугранных углов.
• Для измерения угла между плоскостями используют прямые, перпендикулярные их линии пересечения.