§ 4. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Общая прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное расположение плоскостей, которые пересекаются.

Линейный угол двугранного угла — угол между лучами, проведёнными в его гранях из одной точки ребра перпендикулярно этому ребру. Его стороны лежат в разных гранях, поэтому угол показывает наклон одной грани к другой. Линейным углом измеряют двугранный угол.

Перпендикулярные плоскости — две пересекающиеся плоскости, образующие двугранный угол в 90°. Следовательно, их линейный угол также равен 90°. Такое определение помогает отличить перпендикулярное пересечение от обычного, при котором угол может быть другим.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Признак позволяет доказывать перпендикулярность без непосредственного измерения двугранного угла. Для его применения нужно установить оба условия: принадлежность прямой одной плоскости и её перпендикулярность другой.

Как это устроено

Две пересекающиеся плоскости делят пространство на части, а их общая прямая становится ребром двугранного угла. Чтобы описать, под каким углом они расположены, недостаточно сказать только, что у них есть общая прямая: пересекаться можно и под острым, и под тупым углом. Поэтому взаимное положение плоскостей связывают с углом, который образуют их грани. Именно этот угол позволяет определить, перпендикулярны ли плоскости.

Для построения линейного угла сначала выбирают точку на ребре двугранного угла. Затем в каждой грани из этой точки проводят луч, перпендикулярный ребру. Получившиеся лучи образуют угол с вершиной на ребре, причём каждая его сторона лежит в своей грани. Это построение убирает влияние направления ребра и оставляет только наклон граней друг к другу.

Выбранная точка ребра не меняет величину линейного угла. Если перенести построение вдоль ребра, соответствующие лучи остаются перпендикулярны ему и направлены внутри тех же граней; угол между ними сохраняется. Поэтому двугранный угол можно измерить в любой удобной точке его ребра. Если линейный угол равен 90°, грани расположены под прямым углом, а значит, перпендикулярны и содержащие их плоскости.

Признак перпендикулярности связывает знакомое свойство прямой и плоскости с углом между двумя плоскостями. Если прямая одной плоскости перпендикулярна другой плоскости, то она перпендикулярна линиям этой плоскости, проведённым через точку пересечения. В частности, такую прямую можно сопоставить с направлением ребра, а в первой плоскости — с направлением, перпендикулярным этому ребру. Получается прямой линейный угол, поэтому плоскости перпендикулярны.

На практике признак применяют в два шага. Сначала выбирают прямую, которая заведомо лежит в одной из рассматриваемых плоскостей, например ребро фигуры. Затем доказывают, что она перпендикулярна другой плоскости; для этого могут пригодиться известные свойства прямой и плоскости. Если установлена лишь перпендикулярность этой прямой одной прямой второй плоскости, условия признака ещё не выполнены. В заключении обязательно называют обе плоскости, которые получаются перпендикулярными.

Перпендикулярность плоскостей: определения и признак

Сначала выясните, к какому понятию относится условие задачи: к измерению угла или к поиску прямой. Если известен линейный угол, сравните его величину с 90°. Если доказываете перпендикулярность, проверьте, что выбранная прямая лежит в одной плоскости и перпендикулярна другой.

Разбор задач

Задача 1. Две плоскости пересекаются. Линейный угол образован лучами, перпендикулярными ребру двугранного угла, и равен 90°. Определить взаимное расположение плоскостей. Здесь дан именно линейный угол, поэтому не требуется искать другие прямые в гранях или отдельно измерять угол между плоскостями.

1. Убедимся, что угол из условия построен как линейный: его стороны лежат в гранях и перпендикулярны ребру двугранного угла.
2. По определению линейный угол измеряет двугранный угол, образованный плоскостями.
3. Подставим данную величину: линейный угол равен 90°, значит, двугранный угол прямой.
4. По определению перпендикулярных плоскостей заключаем, что плоскости перпендикулярны.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Задача 2. Плоскость β содержит прямую a, причём a перпендикулярна плоскости α. Доказать, что α и β перпендикулярны. Условие уже сообщает, какая прямая должна стать основанием доказательства. Нужно не пропустить проверку, что она лежит именно в одной из рассматриваемых плоскостей.

1. По условию a ⊂ β, то есть прямая a лежит в плоскости β.
2. Также дано, что a ⟂ α; это означает перпендикулярность прямой всей плоскости α, а не одной выбранной в ней прямой.
3. Применим признак: если плоскость β содержит прямую, перпендикулярную плоскости α, то β ⟂ α.

Ответ: плоскости α и β перпендикулярны.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ доказать, что плоскости ABCD и ABB₁A₁ перпендикулярны. Удобно применить признак, выбрав ребро куба AB₁? Такого ребра у куба нет, поэтому важно выбирать реальные рёбра: возьмём AA₁. Оно лежит в плоскости ABB₁A₁. Остаётся обосновать, что AA₁ перпендикулярна плоскости основания ABCD.

1. В основании ABCD пересекаются прямые AB и AD, обе проходят через точку A.
2. Боковое ребро AA₁ перпендикулярно AB и AD, поскольку боковые рёбра куба перпендикулярны плоскости основания.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, AA₁ ⟂ ABCD.
4. Прямая AA₁ лежит в плоскости ABB₁A₁. По признаку перпендикулярности плоскостей получаем, что ABCD ⟂ ABB₁A₁.

Ответ: плоскости ABCD и ABB₁A₁ перпендикулярны.

Типичные ошибки

• Считать плоскости перпендикулярными только потому, что они пересекаются. Пересечение показывает лишь, что у плоскостей есть общая прямая; угол между ними может быть не прямым. Такую ошибку допускают, принимая наличие ребра за доказательство нужного угла. Проверьте себя: назван ли линейный угол 90° или применён признак перпендикулярности?

• Измерять двугранный угол произвольным углом между прямыми в его гранях. Эти прямые могут быть наклонены к ребру, поэтому угол между ними не обязательно отражает угол между плоскостями. Ошибка возникает, когда забывают условие построения линейного угла. Проверьте, что обе стороны угла перпендикулярны ребру.

• Применять признак, не указав, что прямая лежит в одной из плоскостей. Даже перпендикулярная другой плоскости прямая сама по себе не позволяет сделать вывод о перпендикулярности именно этих двух плоскостей. Проверьте запись: должно быть явно сказано, например, что a лежит в β, а a перпендикулярна α.

• Путать условие «прямая перпендикулярна плоскости» с перпендикулярностью одной прямой, проведённой в этой плоскости. Одна пара перпендикулярных прямых не подтверждает, что выбранная прямая перпендикулярна всей плоскости. Это легко пропустить, если рассматривать только удобное ребро на чертеже. Проверьте, доказана ли перпендикулярность плоскости целиком, например по соответствующему признаку.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно знать определение двугранного угла и свойства перпендикулярных прямой и плоскости. Особенно пригодится признак перпендикулярности прямой и плоскости: с его помощью можно обосновать, что ребро перпендикулярно основанию, а затем применить признак для плоскостей. Эти связи позволяют переходить от отдельных прямых к взаимному расположению плоскостей.

Дальше перпендикулярность плоскостей помогает решать задачи на углы и расстояния в пространстве. Она также встречается при изучении многогранников: например, при анализе оснований и боковых граней. В задачах на построение сечений важно понимать расположение плоскостей, чтобы обосновать, как плоскость сечения пересекает грани фигуры.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости пересекаются под углом 90°.
• Двугранный угол измеряют его линейным углом.
• Стороны линейного угла перпендикулярны ребру двугранного угла.
• Если линейный угол равен 90°, плоскости перпендикулярны.
• Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Для применения признака нужно указать и прямую, и плоскость, которой она перпендикулярна.