§ 18. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскости называют гранями двугранного угла, а их общую прямую — ребром. Такое представление позволяет описывать, как две плоскости расположены относительно друг друга и насколько одна «повёрнута» относительно другой.

Линейный угол двугранного угла — угол между двумя лучами, которые выходят из одной точки ребра, лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру. Он нужен, чтобы измерять двугранный угол обычными средствами планиметрии. Важно, что его стороны выбирают именно перпендикулярными ребру, а не произвольными направлениями в гранях.

Перпендикулярными называют пересекающиеся плоскости, образующие прямой двугранный угол. Иначе говоря, их линейный угол равен 90°. Это определение помогает отличить перпендикулярные плоскости от просто пересекающихся: само наличие общей прямой ещё не означает прямого угла.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из пересекающихся плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Признак удобен, когда строить линейный угол или непосредственно находить его величину трудно. Вместо этого достаточно установить перпендикулярность прямой и плоскости.

Как это устроено

У пересекающихся плоскостей есть общая прямая — ребро двугранного угла. Если взять в каждой плоскости произвольную прямую, угол между ними может зависеть от выбора этих прямых и не передавать угол между самими плоскостями. Поэтому сравнивают направления, перпендикулярные общему ребру: такой выбор исключает влияние направления вдоль линии пересечения. Полученный угол и называют линейным, он показывает, насколько расходятся грани в направлении, поперечном ребру.

Для построения линейного угла можно выбрать любую точку на ребре и провести из неё в гранях лучи, перпендикулярные ребру. Почему результат не меняется? Перпендикуляры к одной прямой в каждой из двух плоскостей имеют одинаковые направления при переносе точки вдоль ребра, а соответствующие лучи можно совместить параллельным переносом. Если вместо лучей рассматривать прямые, возможны смежные углы; для измерения выбирают угол, соответствующий нужной части двугранного угла. Так величина определяется положением плоскостей, а не местом построения.

Угол между плоскостями устанавливают по величине линейного угла их двугранного угла. Если линейный угол равен 90°, направления в гранях, перпендикулярные ребру, тоже взаимно перпендикулярны. Это и означает, что грани образуют прямой двугранный угол, то есть плоскости перпендикулярны. Для других значений угла плоскости пересекаются, но не являются перпендикулярными.

Признак связывает перпендикулярность плоскостей с уже известным свойством прямой и плоскости. Пусть плоскость α содержит прямую l, а l перпендикулярна плоскости β. Проведём через точку пересечения плоскостей прямую в α, перпендикулярную их линии пересечения; при необходимости такую прямую можно получить как направление, параллельное l. Поскольку l перпендикулярна всем направлениям плоскости β, перпендикулярность прямой из α плоскости β показывает, что линейный угол двугранного угла прямой; значит, α и β перпендикулярны.

Пусть α и β перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Если прямая b лежит в α и перпендикулярна a, то b задаёт одну сторону линейного угла двугранного угла. Поскольку плоскости перпендикулярны, этот линейный угол прямой, а значит, b перпендикулярна также направлению в β, перпендикулярному a. Вместе с b в плоскости β можно рассмотреть a: b перпендикулярна и этой прямой, поэтому по критерию перпендикулярности прямой и плоскости b перпендикулярна β. Это позволяет находить расстояние от точки на b до β: оно равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Перпендикулярность плоскостей: определения, признак и следствие

Пользуйтесь таблицей как выбором способа доказательства: сначала определите, что дано, затем найдите подходящее условие. Если известна величина линейного угла, применяйте определение. Если известна перпендикулярность прямой плоскости, используйте признак или следствие.

Разбор задач

Задача 1. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой a. В одной из плоскостей построены две прямые, перпендикулярные a. Определить угол между плоскостями по углу между этими прямыми. Обозначим прямые m и n, а угол между ними — φ. Чтобы применить определение, нужно проверить, что m и n лежат в разных плоскостях и проходят через одну точку a.

1. Если условие выполнено, m и n являются сторонами линейного угла двугранного угла.
2. Следовательно, угол между плоскостями определяется величиной угла между m и n.
3. Если прямые заданы как неориентированные, выбирают меньший угол между ними; именно он лежит в пределах от 0° до 90° и обычно называется углом между плоскостями.

Ответ: угол между плоскостями равен меньшему углу между прямыми m и n. Если обе прямые в действительности лежат в одной плоскости, они не задают линейный угол двугранного угла, и по такому углу нельзя определить угол между плоскостями.

Задача 2. Плоскость β проходит через прямую l, перпендикулярную плоскости α. Доказать, что α и β перпендикулярны. Здесь важно не ограничиться утверждением о пересечении β с α: сначала надо использовать положение прямой l и плоскостей. Так как l перпендикулярна α, она пересекает α в точке P.

1. Поскольку l лежит в β, точка P принадлежит β; одновременно P принадлежит α.
2. Значит, α и β пересекаются. Прямая l лежит в одной из них и перпендикулярна другой.
3. По признаку перпендикулярности плоскостей получаем α ⟂ β.

Ответ: плоскости α и β перпендикулярны. Признак применим именно потому, что прямая l содержится в β, а перпендикулярна α.

Задача 3. Плоскости α и β перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Прямая b лежит в α и перпендикулярна a. Требуется доказать, что b перпендикулярна β, а затем найти расстояние от точки M на b до β по данным задачи. Значение расстояния зависит от заданных длин, поэтому сначала установим геометрическое основание для его вычисления.

1. По следствию из перпендикулярности плоскостей b ⟂ β, так как b лежит в α и b ⟂ a.
2. Опустим из M перпендикуляр MN на β. Поскольку через M проходит прямая b, перпендикулярная β, отрезок MN лежит на b.
3. Точка N — пересечение b с β, поэтому расстояние от M до β равно MN. Если в условии дана длина этого отрезка или данные для её вычисления, подставляем их; например, при заданном MN = d расстояние равно d.

Ответ: b перпендикулярна β, а расстояние от M до β равно длине перпендикуляра MN. Без числовых данных задачи численное значение расстояния определить нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка — считать перпендикулярными любые пересекающиеся плоскости. Её допускают, потому что само пересечение заметно на чертеже, а угол между плоскостями легко принять за угол линий на рисунке. Проверьте линейный угол: перпендикулярность есть только при его величине 90°.

Нельзя измерять угол между плоскостями по любым двум прямым, лежащим в них. Такие прямые могут иметь произвольные направления, а их угол не будет линейным углом двугранного угла. Убедитесь, что обе выбранные прямые перпендикулярны линии пересечения и лежат в разных гранях.

Признак часто путают с утверждением, что достаточно найти прямую, перпендикулярную одной плоскости. Но эта прямая должна лежать в другой рассматриваемой плоскости; без этого признак не связывает положение двух плоскостей. Перед применением подпишите, какая плоскость содержит прямую, а к какой она перпендикулярна.

Ещё одна ошибка — объявлять прямую перпендикулярной плоскости только потому, что она пересекает её под прямым углом на рисунке. Одного пересечения недостаточно: по критерию нужно доказать перпендикулярность прямой двум пересекающимся прямым плоскости. Проверьте, что это условие обосновано, а не только кажется верным по изображению.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия двугранного угла и перпендикулярности прямой и плоскости, а также признак перпендикулярности прямой плоскости. Эти знания позволяют переходить от углов и прямых к взаимному расположению целых плоскостей. Перпендикулярность плоскостей помогает находить углы и расстояния в пространстве. Она встречается при изучении многогранников, прямоугольных параллелепипедов и координатного метода.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости пересекаются под прямым углом.
• Угол между плоскостями задаётся линейным углом двугранного угла.
• Линейный угол строят в плоскости, перпендикулярной линии пересечения плоскостей.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• В перпендикулярных плоскостях прямая одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
• Для доказательства перпендикулярности плоскостей удобно искать прямую, перпендикулярную одной из них.