"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Расстояние в пространстве показывает, насколько далеко друг от друга находятся точки, прямые или плоскости. Для точек оно равно длине соединяющего их отрезка, а во многих других случаях определяется перпендикуляром. Это правило помогает выбрать нужный отрезок и не спутать расстояние с произвольной наклонной. Научившись строить перпендикуляры и применять теорему Пифагора, можно находить расстояния в многогранниках и между пространственными объектами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, который их соединяет. Например, расстояние между A и B обозначают AB. Это простейший случай: других отрезков, соединяющих эти точки, нет, поэтому длина AB сразу даёт искомую величину.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. Перпендикуляр — отрезок, образующий с прямой угол 90°. Он короче любого наклонного отрезка от точки к прямой, поэтому именно его длина показывает ближайшее расстояние.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Его конец лежит в плоскости, а сам отрезок образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проходящей через основание. Это определение позволяет однозначно измерить, как далеко точка находится от плоскости.
Расстояние между параллельными прямыми, параллельными плоскостями и скрещивающимися прямыми определяют по перпендикулярному отрезку между объектами. Для скрещивающихся прямых такой отрезок называется общим перпендикуляром: он перпендикулярен обеим прямым. По длине этого отрезка сравнивают взаимное расположение объектов, не выбирая произвольную наклонную.
Почему перпендикуляр даёт кратчайший путь от точки к прямой или плоскости? Соединим точку с разными точками объекта: наклонный отрезок и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. Перпендикуляр в нём является катетом, а наклонный отрезок — гипотенузой. По теореме о перпендикуляре и наклонной гипотенуза длиннее катета, поэтому любое отклонение от прямого угла увеличивает расстояние.
У параллельных прямых или плоскостей расстояние не меняется при переносе перпендикулярного отрезка вдоль объекта. Причина в том, что у параллельных объектов одно и то же направление перпендикулярно каждому из них. Если взять два таких отрезка и соединить их концы отрезками, лежащими на параллельных объектах, получится фигура, в которой соответствующие стороны параллельны и равны. Значит, длины перпендикуляров одинаковы.
Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому обычный отрезок на одной плоскости между ними построить нельзя. Общий перпендикуляр соединяет точку одной прямой с точкой другой и одновременно образует с обеими прямой угол. Такой отрезок существует и единственен: если бы были два разных общих перпендикуляра, они задавали бы разные кратчайшие расстояния между теми же прямыми, что невозможно. Его длина и есть расстояние между скрещивающимися прямыми.
Пространственные вычисления часто сводятся к плоским. Для этого выделяют прямоугольный треугольник, стороны которого можно найти по условиям задачи, и применяют теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Например, диагональ прямоугольного параллелепипеда можно сначала связать с диагональю основания, а затем — с высотой. Так задача о пространственной фигуре превращается в последовательность вычислений в прямоугольных треугольниках.
Длина любого отрезка между двумя объектами не обязательно равна расстоянию между ними. Если отрезок наклонный, он обычно длиннее перпендикулярного, и его нельзя назвать расстоянием. Сначала нужно установить, какие именно объекты рассматриваются, затем построить перпендикуляр к ним и только после этого вычислять длину. Эта проверка помогает не принять удобный для вычислений отрезок за искомый.
| Объекты | Что является расстоянием | Как построить или найти | Главное свойство |
|---|---|---|---|
| Две точки | Длина соединяющего их отрезка | Соединить точки и найти длину отрезка | Отрезок единственный |
| Точка и прямая | Длина перпендикуляра от точки к прямой | Опустить из точки перпендикуляр | Перпендикуляр короче наклонной |
| Точка и плоскость | Длина перпендикуляра от точки к плоскости | Опустить перпендикуляр на плоскость | Перпендикуляр задаёт кратчайший путь |
| Две параллельные прямые | Длина перпендикуляра между ними | Провести общий перпендикуляр | Все такие перпендикуляры равны |
| Две параллельные плоскости | Длина перпендикулярного отрезка между ними | Провести отрезок, перпендикулярный плоскостям | Расстояние постоянно |
| Две скрещивающиеся прямые | Длина общего перпендикуляра | Найти отрезок между прямыми, перпендикулярный обеим | Общий перпендикуляр единственный |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, какие именно объекты даны и как они расположены. Затем выбери соответствующий перпендикулярный отрезок и проверь, что он перпендикулярен нужным объектам. Его длину можно вычислить по условию задачи или через теорему Пифагора.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра, выходящие из вершины A, взаимно перпендикулярны. Пусть AB = a, AD = b, AA₁ = c. Требуется найти расстояние AC₁ между вершинами A и C₁. Искомое расстояние равно длине пространственной диагонали, поэтому выделим прямоугольные треугольники.
Рассмотрим основание ABCD. Его диагональ AC — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = a и BC = b. По теореме Пифагора AC² = a² + b², значит, AC = √(a² + b²).
Теперь рассмотрим треугольник ACC₁. Ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому оно перпендикулярно AC. Треугольник прямоугольный, а его катеты равны AC = √(a² + b²) и CC₁ = c.
Снова применим теорему Пифагора: AC₁² = AC² + CC₁² = a² + b² + c². Извлекаем квадратный корень, поскольку длина положительна. Ответ: AC₁ = √(a² + b² + c²).
В прямоугольном параллелепипеде требуется найти расстояние от вершины A до плоскости BCC₁B₁, если AB = a. Нужно определить, является ли AB перпендикуляром к этой плоскости. Ребро AB перпендикулярно двум пересекающимся прямым BC и BB₁, лежащим в плоскости BCC₁B₁.
Проверим расположение объектов: точка B принадлежит плоскости BCC₁B₁, а отрезок AB соединяет A с этой точкой. Значит, AB может быть расстоянием от A до плоскости, если он перпендикулярен ей.
В основании параллелепипеда AB ⟂ BC, а боковое ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания и потому перпендикулярно AB. Прямые BC и BB₁ пересекаются и лежат в плоскости BCC₁B₁.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна самой плоскости. Поэтому AB ⟂ BCC₁B₁, и расстояние равно AB. Ответ: a.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найдём расстояние между прямыми AB и CC₁. Эти прямые не пересекаются и не параллельны, значит, они скрещиваются. В качестве общего перпендикуляра проверим ребро BC, соединяющее точку B на AB с точкой C на CC₁.
В квадрате основания AB ⟂ BC. Следовательно, BC перпендикулярно прямой AB.
Ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD. Отрезок BC лежит в этой плоскости и проходит через C, поэтому BC ⟂ CC₁.
Значит, BC — общий перпендикуляр к прямым AB и CC₁. Его длина равна ребру куба a. Ответ: a.
Ошибка: считать расстоянием от точки до прямой или плоскости длину любого соединяющего отрезка. Так поступают, когда выбирают отрезок, который легче увидеть или измерить, но он может быть наклонным. Проверка: убедись, что отрезок образует прямой угол с прямой или плоскостью. Если прямого угла нет, это не искомое расстояние.
Ошибка: переносить свойство постоянного расстояния между параллельными объектами на любые соединяющие их отрезки. Наклонные отрезки могут иметь разную длину, хотя перпендикуляры между объектами равны. Проверка: найди направление, перпендикулярное обоим параллельным объектам, и сравнивай длины только таких отрезков.
Ошибка: называть две прямые скрещивающимися или параллельными, не проверив их взаимное расположение. То, что прямые не пересекаются на рисунке, ещё не доказывает, что они скрещиваются: они могут лежать в одной плоскости и быть параллельными. Проверка: выясни, существуют ли плоскость, содержащая обе прямые, или общая точка. Если прямые не компланарны, они скрещивающиеся.
Ошибка: построить отрезок, перпендикулярный только одной из скрещивающихся прямых, и принять его длину за расстояние. Одной перпендикулярности недостаточно: второй конец отрезка должен лежать на другой прямой, а сам отрезок — быть перпендикулярен и ей. Проверка: отдельно проверь положение обоих концов и оба прямых угла. Только тогда отрезок является общим перпендикуляром.
Для работы с расстояниями нужно знать, когда прямая перпендикулярна плоскости, и уметь различать параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Теорема Пифагора помогает вычислять длины отрезков в прямоугольных треугольниках, возникающих внутри пространственных фигур. Эти приёмы пригодятся при решении задач о многогранниках, прямоугольном параллелепипеде и кубе. Далее понятие расстояния будет использоваться при изучении углов между прямыми и плоскостями и взаимного расположения геометрических объектов.
Почему расстоянием считается именно перпендикуляр, а не самый короткий на вид отрезок?
В геометрии кратчайший путь от точки до прямой или плоскости задаётся перпендикуляром. По теореме о перпендикуляре и наклонной любой наклонный отрезок длиннее перпендикуляра. Поэтому на вид выбирать нельзя: нужно проверить прямой угол.
Как отличить расстояние от точки до плоскости от расстояния до прямой, лежащей в этой плоскости?
Для расстояния до плоскости из точки опускают перпендикуляр именно на плоскость. Для расстояния до прямой перпендикуляр проводят к этой прямой. Эти отрезки могут различаться, поскольку прямая — только часть плоскости.
Почему длины разных перпендикуляров между параллельными плоскостями одинаковы?
Параллельные плоскости везде разделены одним и тем же промежутком. Перпендикулярное направление к одной из них одновременно перпендикулярно и другой. Поэтому любой отрезок, проведённый между плоскостями по этому направлению, имеет одинаковую длину.
Как построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым?
Нужно найти отрезок с концами на обеих прямых, который перпендикулярен каждой из них. В конкретной фигуре его часто обнаруживают по уже заданным прямым углам или строят через плоскость, перпендикулярную одной из прямых. Проверить следует обе перпендикулярности, а не только одну.
Можно ли найти расстояние между скрещивающимися прямыми без построения общего перпендикуляра?
Да, если удаётся свести задачу к вычислению нужной длины другим способом — например, с помощью прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора. Однако геометрический смысл расстояния всё равно связан с длиной общего перпендикуляра. Поэтому такой отрезок полезно мысленно определить, даже если его не строят отдельно.
§ 19. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями
