"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Ортогональное проектирование переносит точки пространственной фигуры на плоскость по перпендикулярам к ней. Так получают плоское изображение фигуры и находят связи между её пространственными размерами, углами и проекциями. Главное — помнить, что проекция наклонного отрезка короче самого отрезка, а её длина определяется косинусом угла между отрезком и плоскостью. Эти правила помогают решать задачи на расстояния, углы и перпендикулярность в пространстве.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ортогональная проекция точки на плоскость — точка пересечения плоскости с перпендикуляром, опущенным из данной точки. Если точка уже лежит в плоскости, её проекция совпадает с ней. Это определение задаёт единственный способ перенести точку на плоскость и не позволяет спутать проекцию с основанием произвольной наклонной.
Ортогональная проекция фигуры на плоскость — фигура, составленная из проекций всех точек исходной фигуры. Иными словами, каждую точку фигуры перемещают к плоскости вдоль перпендикуляра. Такое представление помогает изучать пространственную фигуру с помощью плоского изображения.
Ортогональная проекция отрезка — отрезок, соединяющий проекции его концов. Если отрезок перпендикулярен плоскости, его концы проецируются в одну точку, поэтому проекция вырождается в точку. Это правило позволяет строить проекции отрезков, не перенося на плоскость каждую точку по отдельности.
Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Для наклонной прямой этот угол острый, а для прямой, перпендикулярной плоскости, принимают угол 90°. Такое определение нужно, чтобы точно говорить о наклоне прямой относительно плоскости.
Чтобы спроецировать точку, через неё проводят перпендикуляр к плоскости и находят точку пересечения. Именно перпендикуляр выбирает кратчайшее расстояние от точки до плоскости и задаёт направление ортогонального проектирования. Через точку вне плоскости можно провести только один перпендикуляр к ней, поэтому проекция получается однозначной.
Для проекции отрезка достаточно спроецировать его концы и соединить полученные точки. Причина в том, что все точки отрезка лежат на одной прямой, а при ортогональном проектировании их проекции также располагаются на одной прямой. Между проекциями концов лежат проекции промежуточных точек, поэтому отдельное построение каждой из них не требуется.
Длину проекции наклонного отрезка связывает с его длиной прямоугольный треугольник. Если отрезок имеет длину l, а угол между ним и плоскостью равен α, то проекция является прилежащим катетом, а отрезок — гипотенузой. По определению косинуса получаем lпр = l · cos α. Чем больше угол наклона к плоскости, тем меньше косинус и тем короче проекция.
Если отрезок перпендикулярен плоскости, его концы находятся на одном перпендикуляре и имеют одну проекцию. Поэтому проекция становится точкой. Если отрезок параллелен плоскости, его направление сохраняется, а расстояние между проекциями концов равно расстоянию между самими концами. Эти предельные случаи помогают проверить построение и понять, как меняется длина проекции.
Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность в пространстве с перпендикулярностью проекций. Если наклонная проведена из точки вне плоскости, а её проекция лежит в этой плоскости, то прямая плоскости, проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции. Это следует из разложения наклонной на составляющие: перпендикулярную плоскости и лежащую в плоскости. Теорема упрощает задачи, позволяя проверять перпендикулярность по плоской фигуре.
| Объект | Как получить проекцию | Особый случай или свойство |
|---|---|---|
| Точка | Отметить основание перпендикуляра к плоскости | Точка в плоскости проецируется в себя |
| Отрезок | Соединить проекции его концов | Перпендикулярный плоскости отрезок проецируется в точку |
| Отрезок, параллельный плоскости | Спроецировать концы и соединить их | Длина проекции равна длине отрезка |
| Наклонный отрезок | Спроецировать концы и соединить их | Длина проекции равна длине отрезка, умноженной на косинус угла с плоскостью |
Пользуйся таблицей как кратким порядком действий: сначала определи, какую фигуру проектируешь, затем найди проекции её точек. После этого проверь, не относится ли объект к особому случаю. Например, для наклонного отрезка длину проекции находят по формуле, а не считают равной длине самого отрезка.
Из точки к плоскости проведён перпендикуляр длиной 6 см и наклонная длиной 10 см. Найдём длину проекции наклонной. Перпендикуляр и проекция лежат в плоскости, а вместе с наклонной образуют прямоугольный треугольник. В нём наклонная — гипотенуза, поэтому удобно применить теорему Пифагора.
Ответ: 8 см.
Отрезок длиной 12 см образует с плоскостью угол 30°. Требуется найти длину ортогональной проекции. Угол задан именно между отрезком и плоскостью, поэтому проекция играет роль прилежащего катета в прямоугольном треугольнике. Используем формулу длины проекции через косинус этого угла.
Ответ: 6√3 см.
В треугольнике ABC точка A лежит в плоскости α, а проекция точки B на α — точка H. Известно, что AB = 13 см, BH = 5 см и AH перпендикулярна AC. Найдём проекцию AB на α и выясним, перпендикулярна ли AB прямая AC. Поскольку AH лежит в плоскости, а BH перпендикулярен ей, треугольник ABH прямоугольный при H.
Ответ: проекция AB — отрезок AH длиной 12 см; AB ⟂ AC.
Ошибка: называть проекцией точки основание произвольной наклонной. Так происходит, если забыть, что ортогональность означает перпендикулярное проектирование. Основание наклонной вообще не обязано быть ортогональной проекцией. Проверь себя: соединяющая исходную точку с её проекцией прямая должна быть перпендикулярна плоскости.
Ошибка: считать проекцию наклонного отрезка равной самому отрезку. Это верно только для отрезка, параллельного плоскости; при наклоне его проекция короче. Ошибку часто допускают, перенося на проекцию пространственную длину без учёта угла. Проверь направление отрезка и, если он наклонный, используй lпр = l · cos α.
Ошибка: заменять угол между прямой и плоскостью углом с перпендикуляром к плоскости. Первый угол образован прямой и её проекцией, а второй — прямой и нормалью к плоскости. Их путают, потому что оба описывают положение одной прямой относительно плоскости. Проверь, с какой линией образован заданный угол: для формулы проекции нужен угол с плоскостью.
Ошибка: использовать синус угла с плоскостью в формуле длины проекции. Синус относится к противолежащему катету, а проекция — прилежащий катет прямоугольного треугольника. Поэтому при угле α с плоскостью верна формула lпр = l · cos α. Для самопроверки проверь крайние случаи: при α = 0° проекция должна равняться отрезку, а косинус равен 1.
Для построения ортогональной проекции нужны знания о перпендикулярности прямой и плоскости, а для вычисления длины — свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Теорема о трёх перпендикулярах использует проекцию, чтобы связывать углы и перпендикулярность в пространстве с отношениями в плоскости. Поэтому проектирование помогает находить расстояния и углы в задачах на пространственные фигуры. Его также используют, когда изображают объёмную фигуру на плоском листе.
Как построить ортогональную проекцию точки на плоскость?
Через данную точку проводят прямую, перпендикулярную плоскости. Точка пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция. Если исходная точка уже лежит в плоскости, она проецируется в себя.
Почему для проекции отрезка достаточно спроецировать его концы?
Ортогональная проекция сохраняет прямолинейность: точки отрезка переходят в точки одной прямой или в одну точку. Поэтому проекцией отрезка становится отрезок между проекциями концов. Если отрезок перпендикулярен плоскости, обе его конечные точки проецируются в одну точку.
Когда длина отрезка совпадает с длиной его проекции?
Это происходит, когда отрезок параллелен плоскости. Тогда его направление не укорачивается при проектировании. Если отрезок перпендикулярен плоскости, его проекция, наоборот, имеет нулевую длину.
Как найти длину проекции наклонного отрезка?
Длину отрезка умножают на косинус угла между ним и плоскостью: lпр = l · cos α. Угол α измеряют между отрезком и его проекцией. Например, при угле 60° проекция равна половине исходного отрезка.
Чем угол между прямой и плоскостью отличается от угла между прямой и перпендикуляром к плоскости?
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Угол с перпендикуляром измеряется между прямой и нормалью к плоскости. Для наклонной эти углы в сумме составляют 90°.
§ 20. Ортогональное проектирование
