§ 21. Расстояния между фигурами. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Определения и обозначения

Расстояние между двумя фигурами — наименьшее из расстояний между их точками. Его задаёт отрезок, один конец которого принадлежит первой фигуре, а другой — второй: если фигуры не пересекаются, кратчайший соединяющий отрезок перпендикулярен им. Это определение помогает не принимать за расстояние произвольную длину между точками.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Чтобы найти расстояние, нужно не просто соединить их точки, а определить именно кратчайший отрезок.

Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых — отрезок, концы которого лежат на этих прямых, а сам он перпендикулярен каждой из них. Слово «общий» указывает, что перпендикулярность должна выполняться для обеих прямых. Это условие позволяет отличить искомый отрезок от наклонного.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого из точки одной прямой к другой. Оно не зависит от выбора точки на первой прямой, потому что расстояние между параллельными прямыми постоянно. Поэтому для вычисления достаточно построить один такой перпендикуляр.

Как это устроено

Когда соединяют точки двух фигур, можно получить отрезки разной длины. Кратчайшим оказывается перпендикулярный отрезок: если он наклонён, вместе с его проекцией образуется прямоугольный треугольник, и наклонная является гипотенузой, а значит, длиннее перпендикуляра. Поэтому расстояние выбирают не по удобству построения, а по признаку наименьшей длины.

У скрещивающихся прямых общий перпендикуляр существует. Через одну прямую проводят плоскость, параллельную другой; в этой плоскости выбирают точку первой прямой и опускают перпендикуляр на плоскость, параллельную ей. Полученный отрезок можно перенести параллельно так, чтобы его конец оказался на второй прямой. Он перпендикулярен обеим прямым, поскольку одна лежит в плоскости, а другая параллельна направлению прямой, перпендикулярной плоскости. Все наклонные соединения длиннее него, поэтому его длина и есть расстояние.

Для нахождения расстояния удобно провести через одну скрещивающуюся прямую плоскость, параллельную другой. Тогда вторая прямая параллельна плоскости, а расстояние между прямыми равно расстоянию от этой прямой до плоскости. Такой переход упрощает задачу: вместо двух прямых рассматривают перпендикуляр к плоскости, который можно построить по известным признакам перпендикулярности.

Чтобы построить искомый перпендикуляр, находят в плоскости две пересекающиеся прямые и доказывают, что отрезок перпендикулярен обеим. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости он перпендикулярен всей плоскости. Если известны стороны прямоугольного треугольника, длину перпендикуляра находят по теореме Пифагора: для гипотенузы c и катетов a и b выполняется c² = a² + b². Важно сначала обосновать, какой именно треугольник прямоугольный.

Взаимное расположение прямых определяет способ измерения. У пересекающихся прямых есть общая точка, поэтому расстояние между ними равно нулю. Для параллельных прямых перпендикуляр между ними имеет постоянную длину, а у скрещивающихся расстояние задаёт общий перпендикуляр. Это различие помогает выбрать нужное построение до вычислений.

Расстояния между прямыми и способы их нахождения

Сначала определите, как расположены фигуры: от этого зависит, какой отрезок нужно искать. Для скрещивающихся прямых часто удобнее перейти к прямой и параллельной ей плоскости. Если построение даёт прямоугольный треугольник, длину нужного отрезка можно вычислить по теореме Пифагора.

Разбор задач

Параллельные рёбра прямоугольного параллелепипеда

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда имеют длины a, b и c. Найдём расстояние между противоположными рёбрами, параллельными ребру длины a. Поскольку расстояние между параллельными прямыми измеряется перпендикуляром, нужно выбрать отрезок, идущий по двум другим направлениям рёбер. Такой отрезок является диагональю прямоугольника со сторонами b и c.

1. Рассмотрим прямоугольное сечение, перпендикулярное выбранным параллельным рёбрам.
2. В сечении искомый перпендикуляр соединяет противоположные вершины прямоугольника со сторонами b и c.
3. По теореме Пифагора его длина равна √(b² + c²).

Ответ: √(b² + c²). Значение a на расстояние не влияет: перемещение вдоль параллельных рёбер не меняет кратчайшего расстояния между ними.

Скрещивающиеся рёбра куба

В кубе со стороной a рассмотрим рёбра AB и CC₁. Они не пересекаются и не параллельны, поэтому скрещиваются. Ребро BC соединяет точку B на первом ребре с точкой C на втором и перпендикулярно обоим: смежные рёбра куба взаимно перпендикулярны. Следовательно, BC — общий перпендикуляр.

1. Проверяем, что концы BC принадлежат соответственно AB и CC₁.
2. Используем свойство куба: BC ⟂ AB и BC ⟂ CC₁.
3. Длина BC равна длине ребра куба, то есть a.

Ответ: a. Любой отрезок, соединяющий эти рёбра наклонно, длиннее общего перпендикуляра и потому не задаёт расстояние.

Противоположные рёбра правильного тетраэдра

Пусть все рёбра правильного тетраэдра равны a. Найдём расстояние между противоположными рёбрами AB и CD. Обозначим середины этих рёбер через M и N. В правильном тетраэдре отрезок MN перпендикулярен AB и CD, поэтому он является общим перпендикуляром; его длину найдём из треугольника AMN.

1. Треугольники ACD и BCD равносторонние, поэтому медианы CM и DM перпендикулярны AB, а соответствующие построения показывают, что MN перпендикулярен CD.
2. AM = a/2, а MN можно найти из прямоугольного треугольника AMN: AN — медиана равностороннего треугольника со стороной a, поэтому AN = √3a/2.
3. По теореме Пифагора MN² = AN² − AM² = 3a²/4 − a²/4 = a²/2.

Ответ: a/√2. Именно этот общий перпендикуляр, а не любое соединение рёбер, определяет искомое расстояние.

Типичные ошибки

Ошибка — считать расстоянием между скрещивающимися прямыми любой отрезок с концами на них. Такой отрезок может быть наклонным и тогда окажется длиннее кратчайшего. Ошибку допускают, потому что видимый отрезок на чертеже кажется подходящим; проверка — установить, что он перпендикулярен обеим прямым.

Иногда доказывают перпендикулярность отрезка только одной прямой и сразу называют его общим перпендикуляром. Это неполное обоснование: отрезок может быть наклонным ко второй прямой. Проверьте отдельно оба условия, указав точку пересечения отрезка с каждой прямой и доказательство перпендикулярности.

Расстояние от прямой до плоскости путают с расстоянием до произвольной точки этой плоскости. Произвольно выбранный отрезок может быть наклонным, а значит, его длина не обязана быть наименьшей. Для проверки постройте перпендикуляр к плоскости и убедитесь, что его конец лежит на рассматриваемой прямой.

Ещё одна ошибка — неверно назвать прямые скрещивающимися. На рисунке они могут выглядеть непересекающимися, хотя в пространстве лежат в одной плоскости или параллельны. Проверьте все три условия: прямые не пересекаются, не параллельны и не лежат в одной плоскости; только тогда они скрещиваются.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства перпендикулярных прямых и плоскостей, признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорема Пифагора. Она опирается на изученные случаи параллельности и взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Полученные способы пригодятся в задачах о расстояниях и углах в многогранниках: часто сначала строят перпендикуляр, а затем рассматривают прямоугольный треугольник.

Что запомнить

• Расстояние между фигурами — наименьшее расстояние между их точками.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
• Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых перпендикулярен обеим прямым.
• Через одну из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой.
• Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно длине перпендикуляра к плоскости.
• Расстояние между пересекающимися прямыми равно нулю.
• Для вычисления расстояния в пространственной фигуре полезно свести задачу к прямоугольному треугольнику.