"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Геометрическое место точек — все точки пространства, которые удовлетворяют заданному условию, и только они. Умение распознавать такие множества помогает строить фигуры и решать задачи на расстояния. Наиболее важные примеры: сфера вокруг заданной точки, плоскость точек, равноудалённых от концов отрезка, и плоскости, равноудалённые от двух пересекающихся плоскостей. Чтобы ответ был полным, нужно доказать оба направления: условие выполняется для всех найденных точек, а любая точка с этим условием входит в найденное множество.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек (ГМТ) — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию, и только этих точек. Например, условие может требовать одинакового расстояния до нескольких объектов. Понятие ГМТ помогает заменить описание множества точек знакомой геометрической фигурой.
Сфера — ГМТ пространства, точки которого находятся на одном и том же расстоянии от данной точки. Эту точку называют центром сферы, а расстояние — её радиусом. Определение позволяет описать все точки вокруг центра, не ограничиваясь одной плоскостью.
Серединная перпендикулярная плоскость к отрезку — плоскость, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Иными словами, она пересекает отрезок под прямым углом ровно в его середине. Это определение нужно, чтобы находить все точки, одинаково удалённые от концов отрезка.
Биссекторные плоскости двух пересекающихся плоскостей — две плоскости, точки которых равноудалены от исходных плоскостей. Они проходят по биссектрисам образованных двугранных углов, то есть делят углы на равные части. Эти плоскости описывают точки, для которых расстояния до обеих плоскостей совпадают.
Чтобы установить ГМТ, недостаточно проверить несколько подходящих точек: нужно доказать равенство двух множеств. Сначала показывают, что любая точка найденной фигуры удовлетворяет заданному условию. Затем начинают с произвольной точки, которая удовлетворяет условию, и доказывают, что она обязательно лежит на этой фигуре. Без второго шага можно пропустить другие подходящие точки, а без первого — включить в ответ неподходящие.
Пусть каждая точка X находится на расстоянии r от точки O, где r > 0. По определению это значит, что все такие точки лежат на сфере с центром O и радиусом r. И наоборот, каждая точка этой сферы отстоит от O ровно на r. В пространстве получается поверхность, а не заполненная область: внутренние точки находятся от O на меньшем расстоянии.
Рассмотрим отрезок AB и точку X, равноудалённую от его концов: XA = XB. Если опустить перпендикуляр из X на прямую AB, его основание окажется серединой отрезка, поскольку прямоугольные треугольники с гипотенузами XA и XB равны. Значит, X лежит в плоскости, проходящей через середину AB и перпендикулярной AB. Обратно, для любой точки такой плоскости прямоугольные треугольники с равными катетами дают равные расстояния до A и B.
Расстояние от точки до плоскости измеряют длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Для двух пересекающихся плоскостей условие равных расстояний задаёт биссектрисы двугранных углов между ними. По разные стороны линии пересечения расположены две пары таких углов, и биссектрисы противоположных углов лежат в одной плоскости. Поэтому всё ГМТ состоит из двух биссекторных плоскостей, а выбор одной из них зависит от того, в каком двугранном угле находится точка.
В задаче ГМТ часто является лишь промежуточным результатом. Сначала условие переводят в знакомую фигуру: например, «равноудалена от A и B» заменяют серединной перпендикулярной плоскостью. После этого проверяют дополнительные ограничения, чтобы оставить только нужную часть множества. Так, если точка должна лежать ещё и в заданной плоскости, ответом будет пересечение этой плоскости с найденным ГМТ.
В таблице собраны типовые условия и соответствующие им ГМТ. При решении сначала сопоставьте слова задачи с первым столбцом, затем используйте второй как предполагаемый ответ. Последний столбец подсказывает, почему это множество подходит; доказательство всё равно должно учитывать оба направления.
| Условие для точки | Геометрическое место | Почему получается именно оно |
|---|---|---|
| Расстояние до данной точки равно r > 0 | Сфера с центром в данной точке и радиусом r | Все точки сферы и только они находятся на заданном расстоянии от центра |
| Расстояния до двух данных точек равны | Серединная перпендикулярная плоскость к отрезку с этими концами | Каждая точка этой плоскости равноудалена от концов отрезка, и наоборот |
| Расстояния до двух пересекающихся плоскостей равны | Две биссекторные плоскости | Точки биссекторных плоскостей равноудалены от обеих плоскостей |
| Расстояния до двух параллельных плоскостей равны | Плоскость, параллельная им и расположенная посередине | Расстояние до каждой исходной плоскости для любой её точки одинаково |
Задача 1. Найдите ГМТ точек пространства, удалённых от точки O на 4 см. Требуется описать все точки, которые удовлетворяют условию, а не одну точку на таком расстоянии. В условии уже задано постоянное расстояние от фиксированной точки, поэтому можно применить определение сферы.
Ответ: сфера с центром O и радиусом 4 см.
Задача 2. Постройте ГМТ точек, равноудалённых от двух заданных точек A и B. Сначала нужно понять, какая фигура содержит все точки, у которых расстояния до A и B равны. Это пространственный аналог серединного перпендикуляра, но вместо прямой получится плоскость.
Ответ: плоскость, проходящая через середину AB и перпендикулярная AB.
Задача 3. Две пересекающиеся плоскости α и β образуют двугранные углы. Опишите ГМТ точек, расстояния от которых до α и β равны и которые лежат в одном из этих углов. Нужно учесть, что условие о двугранном угле ограничивает ответ одной из двух частей пространства.
Ответ: биссекторная плоскость выбранного двугранного угла; всего для двух пересекающихся плоскостей таких плоскостей две.
Некоторые называют шаром множество точек на фиксированном расстоянии от центра. Ошибка возникает из-за сходства слов, но расстояние до внутренних точек шара не равно радиусу. Проверьте себя вопросом: допускает ли условие точки внутри фигуры? Если задано ровно одно расстояние, речь идёт о сфере.
Другая ошибка — доказать только, что точки найденной фигуры подходят под условие. Так подтверждается лишь одно направление, и могут остаться неучтённые точки. Для проверки сформулируйте обратный вопрос: если произвольная точка удовлетворяет условию, почему она обязана лежать именно здесь? Если ответа нет, доказательство ГМТ не завершено.
При равноудалённости от концов отрезка иногда проводят любую плоскость через его середину. Одного прохождения через середину недостаточно: плоскость должна быть ещё и перпендикулярна отрезку, иначе расстояния до концов могут различаться. Проверьте построение по двум признакам — середина принадлежит плоскости, а отрезок перпендикулярен ей.
Для двух пересекающихся плоскостей в ответе могут указать только одну биссекторную плоскость. Обычно это происходит, когда рассматривают лишь один двугранный угол и забывают о второй паре углов. Проверьте ответ: учитывает ли он оба возможных положения точек? Если задан конкретный угол, укажите соответствующую биссекторную плоскость, но помните о второй для полного ГМТ.
Для этой темы нужны понятия расстояния от точки до прямой и плоскости, перпендикулярности прямой и плоскости, а также свойства серединного перпендикуляра на плоскости. Расстояние до плоскости задаётся перпендикуляром, поэтому без этого понятия нельзя говорить о равноудалённости от плоскостей. ГМТ применяют в задачах на построение и доказательство, а также при изучении сфер, шаров и сечений пространственных фигур.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера состоит только из точек, удалённых от центра на одно и то же расстояние — радиус. Шар включает сферу и все точки внутри неё, поэтому расстояние до центра у его внутренних точек меньше радиуса.
Почему для доказательства ГМТ нужно проверять два направления?
Одно направление показывает, что найденные точки подходят под условие. Обратное доказывает, что других подходящих точек нет и ни одна часть искомого множества не пропущена.
Как построить плоскость, равноудалённую от концов отрезка?
Найдите середину отрезка, а затем проведите через неё плоскость, перпендикулярную отрезку. Она и будет серединной перпендикулярной плоскостью: каждая её точка одинаково удалена от концов отрезка.
Почему у двух пересекающихся плоскостей две биссекторные плоскости?
Пересекающиеся плоскости образуют две пары вертикальных двугранных углов. В каждой паре есть общая биссекторная плоскость, поэтому получаются две плоскости точек, равноудалённых от исходных плоскостей.
Как учитывать дополнительное условие задачи после нахождения ГМТ?
Сначала найдите всё ГМТ по основному условию. Затем оставьте только те его точки, которые удовлетворяют дополнительному условию: например, возьмите пересечение ГМТ с заданной плоскостью или прямой.
§ 22. Геометрические места точек в пространстве
