"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Координаты и векторы помогают описывать точки, расстояния и направления в трёхмерном пространстве числами. Три взаимно перпендикулярные оси задают положение точки, а координаты вектора показывают, как перейти от одной точки к другой. По формулам можно находить длины, середины отрезков и углы, проверять перпендикулярность. Тот же подход описывает преобразования фигур: например, при параллельном переносе координаты каждой точки меняются одинаково, поэтому форма и размеры фигуры сохраняются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом. Их обычно обозначают Ox, Oy и Oz, а общее начало — O. Такая система нужна, чтобы однозначно описать положение любой точки тремя числами.
Координаты точки в пространстве — упорядоченная тройка чисел (x; y; z), определяющая её положение относительно осей и координатных плоскостей. Переставлять числа нельзя: каждая координата относится к своей оси. По координатам можно вычислять расстояния и проверять, лежит ли точка на плоскости или оси.
Вектор в пространстве — направленный отрезок, характеризуемый направлением, длиной и координатами. Если вектор направлен из A в B, его записывают AB; порядок букв указывает направление. Векторы нужны, чтобы описывать перемещения и выполнять вычисления с направлениями.
Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Оно также вычисляется через координаты, поэтому позволяет находить углы без построения чертежа. С его помощью проверяют перпендикулярность и находят длину вектора.
Три оси задают три независимых направления, поэтому для указания точки недостаточно одного или двух чисел. Через точку проводят плоскости, параллельные координатным плоскостям: соответствующие расстояния связаны с координатами x, y и z. Знаки координат показывают, по какую сторону от координатных плоскостей находится точка. Например, если x = 0, точка лежит в плоскости Oyz, потому что её смещение вдоль оси Ox отсутствует.
Чтобы найти координаты AB, нужно рассмотреть, насколько изменилось каждое положение при переходе из A в B. Поэтому из координат конца вычитают координаты начала: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Сложение векторов соответствует последовательному перемещению, а вычитание — добавлению вектора, противоположного вычитаемому. При умножении на число длина меняется в |k| раз; знак числа определяет, сохранится направление или развернётся.
Формула расстояния возникает из теоремы Пифагора. Если перейти от одной точки к другой, разности координат задают три взаимно перпендикулярные составляющие смещения. Сначала складывают квадраты двух составляющих, чтобы получить квадрат диагонали прямоугольника, затем по теореме Пифагора добавляют квадрат третьей. Так получается пространственная формула с тремя квадратами; на плоскости остаются только два.
Скалярное произведение по координатам получают перемножением соответствующих координат и сложением результатов: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Это выражение равно |a||b| cos φ, поэтому, зная длины и произведение, можно найти косинус угла φ. Если произведение равно нулю и векторы ненулевые, cos φ = 0, значит, угол прямой. Длина находится из равенства a·a = |a|²: для a = (a₁; a₂; a₃) имеем |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).
Координатами удобно описывать преобразования: новое положение точки получается по общему правилу для всех точек фигуры. При параллельном переносе к координатам прибавляют один и тот же вектор, поэтому разности координат любых двух точек не меняются. Центральная симметрия относительно начала координат меняет знаки всех координат: (x; y; z) переходит в (−x; −y; −z). Перенос и симметрия сохраняют расстояния и углы, хотя расположение фигуры в пространстве меняется.
| Объект или действие | Формула | Геометрический смысл | Условие или результат |
|---|---|---|---|
| Координаты вектора по координатам его начала и конца | AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) | Смещение от A к B по трём осям | A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) |
| Длина вектора | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | Длина направленного отрезка | a = (a₁; a₂; a₃) |
| Расстояние между двумя точками | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) | Длина отрезка AB | Неотрицательное число |
| Середина отрезка | M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2) | Точка, равноудалённая от концов отрезка | AM = MB |
| Сложение и вычитание векторов | a ± b = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂; a₃ ± b₃) | Покомпонентное сложение или разность смещений | Одинаковые координаты выполняют те же действия |
| Умножение вектора на число | ka = (ka₁; ka₂; ka₃) | Изменение длины и, возможно, направления | Длина равна |k||a| |
| Скалярное произведение векторов | a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b| cos φ | Связь координат с углом между векторами | φ — угол между векторами |
| Условие перпендикулярности векторов | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0 | Угол между векторами прямой | a и b ненулевые |
| Координаты точки при параллельном переносе | (x; y; z) → (x + p; y + q; z + r) | Сдвиг точки на вектор переноса | Вектор переноса (p; q; r) |
| Координаты точки при центральной симметрии | (x; y; z) → (−x; −y; −z) | Точка переходит в противоположную относительно центра O | Центр симметрии — начало координат |
Сначала определите, что требуется найти: координаты, длину, угол или образ точки при преобразовании. Затем выберите строку таблицы и подставьте координаты в нужном порядке. Для проверки полезно помнить: длина не бывает отрицательной, а координаты вектора AB должны соответствовать переходу именно от A к B.
Задача 1. Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 2; −1). Найти координаты вектора AB, его длину и расстояние между точками A и B. Сначала нужно учесть направление: вектор AB начинается в A и заканчивается в B. Длина этого вектора равна расстоянию между его концами.
Ответ: AB = (3; 4; −4), |AB| = √41, расстояние между точками равно √41. Проверка направления: если бы искали BA, все три координаты имели бы противоположные знаки, но длина осталась бы той же.
Задача 2. Даны векторы a = (2; −1; 3) и b = (1; 4; 0). Определить угол между ними и выяснить, перпендикулярны ли они. Сначала вычислим скалярное произведение: оно одновременно помогает проверить перпендикулярность и найти косинус угла. Для угла понадобятся также длины обоих векторов.
Ответ: угол между векторами приблизительно равен 97,4°, векторы не перпендикулярны. Действительно, для перпендикулярности скалярное произведение должно быть равно нулю, а здесь оно равно −2.
Задача 3. Треугольник имеет вершины A(1; 0; 2), B(3; 1; −1), C(0; 2; 1). Его перенесли на вектор v = (−2; 3; 4). Найти новые координаты вершин и проверить сохранение длин сторон. Поскольку перенос одинаков для всех точек, к каждой вершине прибавим координаты v. Чтобы проверить длины, сравним разности координат концов соответствующих сторон до и после переноса.
Ответ: A′(−1; 3; 6), B′(1; 4; 3), C′(−2; 5; 5). Для стороны BC: BC = (−3; 1; 2), B′C′ = (−3; 1; 2), так что обе длины равны √14. Длины всех сторон сохраняются, потому что один и тот же вектор прибавляется к каждой вершине и при вычислении разностей сокращается.
Путают AB и BA. Часто кажется, что порядок букв несущественен, хотя он задаёт направление. Для AB координаты конца B вычитают из координат? Нет: вычитают координаты начала A из координат конца B. Проверьте ответ, записав правило «конец минус начало»; для BA результат должен отличаться только знаками.
Неверно находят длину. Можно забыть возвести координаты в квадрат или извлечь корень не из всей суммы. Это происходит, когда формулу вспоминают по частям. Подставьте координаты в скобки, возведите каждую в квадрат, сложите и лишь затем извлеките корень; итоговая длина должна быть неотрицательной.
Ошибаются в скалярном произведении. Скалярное произведение — не покоординатное произведение векторов, а сумма трёх произведений соответствующих координат. При спешке одно слагаемое пропускают или перемножают координаты в неправильном порядке. Запишите все пары: a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃, затем сложите их и проверьте, что для перпендикулярных ненулевых векторов сумма равна нулю.
Преобразуют не все точки одинаково. Если изменить координаты только одной вершины или применить к вершинам разные правила, новые точки уже не будут образом исходной фигуры при одном преобразовании. Такая ошибка возникает при поточечной подстановке без общего правила. Перед вычислениями зафиксируйте формулу преобразования и примените её к каждой вершине; затем проверьте, что соответствующие разности координат ведут себя ожидаемо.
Для работы с пространственными координатами нужны навыки, знакомые по геометрии на плоскости: координаты и векторы, теорема Пифагора, скалярное произведение и действия с действительными числами. Пространственная формула расстояния продолжает формулу для плоскости, добавляя третью координату. Дальше координатный метод пригодится при изучении прямых и плоскостей, их уравнений, расстояний и углов между геометрическими объектами. За пределами геометрии он используется в компьютерной графике, моделировании, навигации и описании движений в трёхмерном пространстве.
Почему для задания точки в пространстве нужны именно три координаты?
В пространстве точка может смещаться в трёх независимых направлениях: вдоль каждой из трёх взаимно перпендикулярных осей. Поэтому её положение задают три числа — координаты x, y и z. Двух координат достаточно только для точки на плоскости.
Чем координаты точки отличаются от координат вектора?
Координаты точки задают её положение относительно начала координат. Координаты вектора описывают смещение от его начала к концу и находятся как координаты конца минус координаты начала. Один и тот же вектор можно отложить от разных точек.
Как быстро понять по координатам, что два вектора перпендикулярны?
Вычислите скалярное произведение: перемножьте соответствующие координаты и сложите произведения. Если результат равен нулю, векторы перпендикулярны, если оба вектора ненулевые. Например, для a = (a₁; a₂; a₃) и b = (b₁; b₂; b₃) проверяют равенство a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0.
Почему при параллельном переносе нужно изменять координаты всех точек одним и тем же вектором?
Перенос перемещает каждую точку на одинаковое расстояние и в одном направлении. Поэтому к координатам каждой точки прибавляют один и тот же вектор переноса. Если применить разные векторы, взаимное расположение точек изменится и получится уже не параллельный перенос.
Какие геометрические свойства сохраняются при симметрии и параллельном переносе?
Параллельный перенос и симметрия сохраняют расстояния между точками, значит, сохраняют длины отрезков и величины углов. Поэтому образ фигуры равен исходной фигуре по форме и размерам. При этом положение точек и, в зависимости от преобразования, направление обхода вершин могут измениться.
Раздел 5. Координаты, векторы и геометрические преобразования в пространстве
