"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Прямоугольная система координат позволяет задавать положение точки в пространстве тремя числами. Для этого выбирают три взаимно перпендикулярные оси с общим началом и единичным отрезком на каждой. Координаты показывают, как точка расположена относительно координатных плоскостей. По ним можно построить точку, определить, в какой части пространства она находится, и вычислить расстояние между двумя точками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. На каждой оси задают единичный отрезок, который служит мерой длины. Такая система позволяет описывать положение точек в трёхмерном пространстве числами, а не только словами.
Координатная ось — одна из осей Ox, Oy, Oz. Буква после O указывает направление оси, а стрелка задаёт её положительное направление; противоположное направление считают отрицательным. На оси выбирают единичный отрезок, поэтому координата точки показывает, сколько таких отрезков и в какую сторону нужно отложить от начала O.
Координатная плоскость проходит через две координатные оси. Плоскости Oxy, Oyz и Ozx образованы соответственно осями Ox и Oy, Oy и Oz, Oz и Ox. Они нужны, чтобы описывать положение точки относительно двух направлений и делить пространство на части.
Координаты точки — числа x, y, z, записываемые в порядке соответствующих осей Ox, Oy, Oz. Каждое число показывает положение точки относительно координатных плоскостей, перпендикулярных своей оси. Вместе три координаты однозначно задают точку, поэтому запись A(x; y; z) позволяет восстановить её положение.
На плоскости точку задают двумя координатами, потому что достаточно указать перемещения вдоль двух направлений. Чтобы описывать точки не только на этой плоскости, но и над ней или под ней, вводят третью ось, перпендикулярную двум уже выбранным. Её проводят через начало координат, а затем задают направление и единичный отрезок. Так появляется тройка взаимно перпендикулярных направлений, подходящая для задания любого положения в пространстве.
Каждая пара осей образует координатную плоскость, а три такие плоскости пересекаются по координатным осям и делят пространство на восемь частей. Для точки, не лежащей на плоскостях, знаки координат показывают, по каким направлениям от начала координат она расположена. Например, знаки x > 0, y < 0, z > 0 означают движение по положительным направлениям Ox и Oz и по отрицательному Oy. Поэтому набор знаков помогает определить часть пространства, где находится точка.
Чтобы построить A(x; y; z), сначала отмечают соответствующие координатам перемещения по осям, учитывая знаки. Затем через полученные отметки проводят прямые, параллельные другим координатным осям, и находят их пересечение. Это похоже на построение прямоугольного параллелепипеда: его рёбра параллельны осям, а искомая точка задаётся длинами перемещений по трём направлениям. Такой способ особенно удобен, когда точка не лежит ни на одной оси.
Координатная плоскость состоит из точек, у которых перемещение по перпендикулярной к ней оси равно нулю. Поэтому в Oxy выполняется z = 0, в Oyz — x = 0, а в Ozx — y = 0. Координатная ось является пересечением двух таких плоскостей. Следовательно, на оси обнуляются обе координаты, соответствующие перпендикулярным направлениям, и остаётся только координата вдоль самой оси.
Пусть две точки имеют координаты A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂). Их перемещения по трём осям равны разностям одноимённых координат: x₂ − x₁, y₂ − y₁ и z₂ − z₁. Эти направления взаимно перпендикулярны, поэтому теорему Пифагора можно применить сначала к двум перемещениям, а затем к полученной диагонали и третьему перемещению. В результате d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)², то есть d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
| Плоскость | Уравнение | Какая координата равна нулю | Перпендикулярная ось |
|---|---|---|---|
| Oxy | z = 0 | z | Oz |
| Oyz | x = 0 | x | Ox |
| Ozx | y = 0 | y | Oy |
Чтобы определить плоскость по координатам точки, найдите координату, равную нулю: именно соответствующая ось перпендикулярна этой плоскости. Если нулевых координат две, точка лежит на оси пересечения плоскостей. Если все три координаты равны нулю, это начало координат O.
Задача 1. Построить точку A(2; −1; 3) в прямоугольной системе координат и указать знаки её координат. Здесь нужно последовательно учесть три координаты, не меняя их порядок. Отрицательный знак влияет только на направление откладывания по соответствующей оси.
Знаки координат точки: x положительный, y отрицательный, z положительный. Для проверки проследите, что первое число отложено вдоль Ox, второе — вдоль Oy, а третье — вдоль Oz; их порядок нельзя переставлять.
Задача 2. Найти расстояние между точками A(1; 2; −1) и B(4; 6; 1). Сначала сравним положения точек отдельно по каждому направлению, после чего применим пространственную формулу расстояния. Разности координат равны 4 − 1 = 3, 6 − 2 = 4 и 1 − (−1) = 2.
Ответ: √29. Отрицательная координата точки A не делает расстояние отрицательным: при вычитании получается разность, а в формуле её квадрат. Для проверки сложите квадраты всех трёх разностей, а не сами разности.
Задача 3. Точка A лежит в плоскости Oyz, расстояние от неё до начала координат равно 5, координаты y и z относятся как 3:4. Найдём все возможные координаты. Поскольку плоскость Oyz задаётся условием x = 0, останется использовать расстояние и отношение двух других координат.
Ответ: A(0; 3; 4) или A(0; −3; −4). Оба варианта подходят, потому что отношение сохраняется при одновременной смене знаков y и z. Проверка: 0² + 3² + 4² = 25, поэтому расстояние до O равно 5.
Ошибка — считать, что оси могут быть расположены под произвольными углами. Её допускают, перенося представление о любой системе координат на прямоугольную, хотя слово «прямоугольная» требует попарной перпендикулярности всех трёх осей. Проверяйте условие перед применением формулы расстояния: её вывод опирается на прямые углы между направлениями.
При построении точки иногда путают порядок координат или откладывают, например, y вдоль Ox. Это происходит, если воспринимать запись как набор чисел без связи с обозначениями осей. Проверка проста: запишите рядом соответствия x — Ox, y — Oy, z — Oz и сверяйте с ними каждое действие.
Можно забыть, что на плоскости одна координата равна нулю, а на оси — две. Путаница возникает из-за того, что и плоскость, и ось проходят через начало координат. Чтобы проверить ответ, установите, какие направления для точек объекта неизменны: одна перпендикулярная плоскости координата обнуляется, а на оси обнуляются две.
В формуле расстояния нельзя просто сложить разности координат: каждую разность нужно возвести в квадрат. Также при вычислении важно правильно учитывать знак, например, 1 − (−1) = 2. Проверьте запись скобками и убедитесь, что под корнем стоят три квадрата; иначе результат может зависеть от направления перемещения или оказаться отрицательным.
Для работы в пространстве нужны навыки из темы о прямоугольной системе координат на плоскости: умение читать координаты, откладывать их по осям и учитывать знак. Ещё одна необходимая основа — теорема Пифагора, с помощью которой выводится формула расстояния между точками. Она позволяет перейти от отдельных перемещений по осям к длине отрезка в пространстве.
Координатное описание точек пригодится при изучении векторов, уравнений прямых и плоскостей. Оно также помогает решать стереометрические задачи: геометрические условия можно переводить в координатные равенства и вычисления. Этот подход особенно полезен, когда положение объектов удобно задавать числами.
Чем координатная система в пространстве отличается от системы на плоскости?
На плоскости для задания точки нужны две координаты и две оси. В пространстве добавляют третью ось, перпендикулярную двум другим, поэтому точку задают тремя числами: x, y и z.
Как построить точку, если одна или несколько её координат отрицательны?
На соответствующей оси откладывают нужную длину в направлении, противоположном положительному. Затем переносят полученное положение параллельно другим осям, сохраняя знаки и порядок координат x, y, z.
Как определить, на какой координатной плоскости лежит точка?
Посмотрите, какая из её координат равна нулю. При z = 0 точка лежит в Oxy, при x = 0 — в Oyz, а при y = 0 — в Ozx.
Почему у точки на координатной оси две координаты равны нулю?
Координатная ось является линией пересечения двух координатных плоскостей. На каждой из этих плоскостей одна определённая координата равна нулю, поэтому на общей оси нулевыми оказываются две координаты.
Как вывести формулу расстояния между двумя точками в пространстве?
Разности координат задают длины перемещений вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений. Сначала по теореме Пифагора находят диагональ прямоугольника в двух направлениях, затем применяют её ещё раз вместе с перемещением вдоль третьей оси. Получается формула d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
§ 23. Прямоугольная система координат в пространстве
