46. Прямоугольная система координат в пространстве

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — система, образованная тремя взаимно перпендикулярными координатными осями с общим началом. Она позволяет указывать положение точки в трёх измерениях, а не только на плоскости. Каждое направление описывается своей координатой.

Координатные оси — три попарно перпендикулярные прямые, обычно обозначаемые Ox, Oy и Oz; их общее начало O называют началом координат. На каждой оси выбирают единичный отрезок и положительное направление. Эти обозначения помогают понять, к какой оси относится каждое число.

Координатные плоскости — плоскости Oxy, Oyz и Ozx, проходящие через пары координатных осей. Они служат границами между областями пространства и позволяют описывать точки, расположенные сразу в направлениях двух осей. Название плоскости указывает, какие оси в ней лежат.

Координаты точки — упорядоченная тройка чисел (x; y; z), задающая её положение относительно осей Ox, Oy и Oz. Первое число относится к оси Ox, второе — к Oy, третье — к Oz. Фиксированный порядок нужен, чтобы по записи можно было однозначно построить точку.

Как это устроено

На плоскости положение точки задают двумя перпендикулярными осями: одной координаты не хватает, чтобы описать смещение в двух направлениях. В пространстве появляется ещё одно независимое направление, поэтому к осям Ox и Oy добавляют ось Oz, перпендикулярную обеим. Теперь положение точки определяется тремя числами: изменение любой из координат перемещает её вдоль своего направления, не подменяя остальные.

На каждой оси задают положительное направление и выбирают единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за одну единицу. Число координаты показывает, сколько таких единиц нужно отложить от начала, а знак — в какую сторону двигаться. Запись делают только в порядке (x; y; z), потому что первое, второе и третье числа закреплены за конкретными осями; перестановка чисел описала бы другую точку.

Чтобы построить точку, мысленно или на чертеже последовательно переносят её координатные отрезки параллельно осям. Сначала откладывают x вдоль Ox, затем от полученного положения — y параллельно Oy, после этого — z параллельно Oz. Такой перенос сохраняет направления осей: конечное положение не зависит от того, где именно проведён параллельный отрезок. Отрицательное значение откладывают против выбранного положительного направления.

Плоскости Oxy, Oyz и Ozx пересекаются по координатным осям и делят пространство на части. Если ни одна координата не равна нулю, точка лежит вне этих плоскостей; сочетание знаков x, y и z указывает, в какой из частей она находится. При нулевой координате точка оказывается на соответствующей координатной плоскости, то есть на границе соседних частей. Поэтому знаки помогают определить положение, но точное место задают все три координаты вместе.

Координата равна нулю, когда точка не смещена от соответствующей координатной плоскости в направлении перпендикулярной к ней оси. Например, z = 0 означает, что точка лежит в Oxy; x = 0 соответствует Oyz, а y = 0 — Ozx. Ось является пересечением двух координатных плоскостей, поэтому для точки на оси сразу две координаты равны нулю. В начале O пересекаются все три оси и плоскости, так что все координаты там нулевые.

Координаты точек на осях и координатных плоскостях

Чтобы воспользоваться таблицей, найдите координату, которая должна быть равна нулю, и сопоставьте её с плоскостью. Для оси проверьте сразу две координаты: нули должны стоять у направлений, перпендикулярных этой оси. Примеры показывают возможные значения, но ненулевые координаты могут быть и другими.

Разбор задач

1. Отметить точку A(2; 3; 1)

Все три координаты положительны, поэтому каждый отрезок нужно откладывать в положительном направлении своей оси. Чтобы получить точку на плоском рисунке, строят последовательные параллельные переносы: они сохраняют направление каждой оси. Запись координат по порядку подсказывает, какой отрезок откладывать первым, вторым и третьим.

1. От начала O отложите 2 единицы параллельно оси Ox.
2. Из полученного положения отложите 3 единицы параллельно Oy.
3. Затем отложите 1 единицу параллельно Oz; конец последнего отрезка и есть точка A.

Проверьте результат: координаты точки должны быть именно 2, 3 и 1 в порядке Ox, Oy, Oz. Ответ: A(2; 3; 1).

2. Определить плоскость для B(4; 0; −2) и построить точку

В тройке B(4; 0; −2) нулевой является вторая координата, то есть y. Это означает, что смещения вдоль Oy нет и точка лежит в координатной плоскости, образованной осями Oz и Ox. Координаты x и z задают её положение внутри этой плоскости, а отрицательный знак z меняет направление откладывания по Oz.

1. По условию y = 0, поэтому выберите плоскость Ozx.
2. От начала координат отложите 4 единицы вдоль положительного направления Ox.
3. От полученного положения отложите 2 единицы параллельно Oz, но против положительного направления, поскольку z = −2.

Вторую координату при построении не откладывают: она равна нулю. Ответ: точка B лежит в плоскости Ozx; её координаты — (4; 0; −2).

3. Точка C(x; −3; 5) лежит на оси Oy

Точка на оси Oy может иметь смещение только вдоль этой оси. Следовательно, координаты, отвечающие направлениям Ox и Oz, должны быть равны нулю. Сопоставим это условие с заданной записью координат: x относится к Ox, а число 5 — к Oz.

1. Для точки на Oy требуется x = 0 и z = 0.
2. Из записи C(x; −3; 5) видно, что третья координата z = 5.
3. Так как 5 ≠ 0, условие принадлежности оси Oy не выполняется при любом значении x.

Значение второй координаты −3 само по себе согласуется с положением на Oy, но третья координата этому противоречит. Ответ: такой точки не существует; заданные условия несовместимы.

Типичные ошибки

Переставлять координаты. Иногда тройку читают как набор чисел, порядок которых не важен, но каждая позиция связана со своей осью. Проверяйте запись по соответствию: первое число — x, второе — y, третье — z; при построении сверяйте каждое откладываемое значение с этой последовательностью.

Считать одну нулевую координату признаком оси. Так ошибаются, потому что точка с нулём действительно лежит на особом объекте системы координат. Но одна нулевая координата задаёт плоскость, а для оси нужны две; проверьте, сколько направлений остаётся у точки.

Неверно выбирать координатную плоскость. Название плоскости связывают с нулевой координатой, но иногда путают, какая ось к ней не относится. Если x = 0, это Oyz; если y = 0 — Ozx; если z = 0 — Oxy. Для проверки найдите плоскость, в названии которой нет оси с нулевой координатой.

Откладывать отрицательную координату в положительном направлении. Знак минус может потеряться, когда при построении смотрят только на величину числа. Сначала определите нужную ось, затем проверьте знак: положительное значение откладывают по выбранному направлению, отрицательное — против него.

Связь с другими темами

Чтобы работать с пространственными координатами, нужно уметь задавать точки на координатной плоскости и понимать, как откладываются положительные и отрицательные числа. Эти знания переносятся на три измерения: к двум направлениям добавляется третье, перпендикулярное первым двум. Сама система координат становится инструментом для дальнейшей геометрии, а не отдельным способом записи.

Координаты используют при изучении векторов и вычислении расстояния между точками в пространстве. Они также помогают описывать прямые и плоскости уравнениями: геометрические объекты можно задавать условиями на x, y и z. Поэтому умение читать и строить координатные тройки нужно для перехода от рисунка к вычислениям.

Что запомнить

• В пространстве для задания положения точки нужны три координаты.
• Координатные оси взаимно перпендикулярны и имеют общее начало O.
• Координаты записывают в порядке (x; y; z).
• В плоскости Oxy координата z равна нулю; в Oyz — x; в Ozx — y.
• На каждой координатной оси две координаты равны нулю.
• В начале координат все три координаты равны нулю.