1.1. Прямоугольная система координат в пространстве

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три попарно перпендикулярные оси Ox, Oy и Oz с общим началом O и одной единицей измерения. Она позволяет описать положение любой точки тремя числами. Прямоугольность осей делает измерения независимыми и упрощает вычисления.

Координатные оси — взаимно перпендикулярные прямые Ox, Oy и Oz, задающие направления координат в пространстве. Точка O называется началом координат, а положительные направления отмечаются на каждой оси. По этим осям определяют, в какую сторону и на какое расстояние удалена точка.

Координатные плоскости — плоскости Oxy, Oxz и Oyz, каждая из которых содержит две координатные оси. Плоскость Oxy содержит оси Ox и Oy, плоскость Oxz — Ox и Oz, а Oyz — Oy и Oz. Они помогают строить проекции точек и определять их положение в пространстве.

Координаты точки — три числа x, y и z, определяющие положение точки относительно координатных плоскостей и осей. Точку записывают, например, так: A(x; y; z). Первое число относится к Ox, второе к Oy, третье к Oz, поэтому менять их местами нельзя.

Как это устроено

На плоскости положение точки задают двумя независимыми координатами, потому что достаточно двигаться в двух направлениях. В пространстве можно перемещаться ещё и в направлении, перпендикулярном плоскости первых двух движений. Поэтому для однозначного задания точки нужны три взаимно перпендикулярных направления и три координаты.

Сначала выбирают точку O и проводят через неё три взаимно перпендикулярные прямые. На каждой оси задают положительное направление и откладывают одну и ту же единицу измерения. Так получают оси Ox, Oy и Oz, а вместе с ними — единую систему отсчёта, в которой координаты можно сравнивать и вычислять.

Чтобы получить координаты точки A, из неё мысленно проводят перпендикуляры к координатным плоскостям или осям. Проекция на плоскость показывает положение двух координат, а расстояние до этой плоскости определяет третью координату с учётом стороны расположения. Например, координата x связана с положением точки относительно плоскости Oyz, поскольку эта плоскость задаётся условием x = 0.

Три координатные плоскости пересекаются по координатным осям и делят всё пространство на восемь частей — октантов. В каждом октанте координаты имеют определённые знаки, например (+; −; +). Знак показывает, на какой стороне от соответствующей координатной плоскости находится точка, а нулевая координата означает попадание на эту плоскость.

Формула расстояния основана на теореме Пифагора. Разности координат Δx, Δy и Δz задают три взаимно перпендикулярные составляющие перемещения, поэтому квадраты этих величин складываются. Координаты середины отрезка находят как средние арифметические координат его концов, потому что середина делит каждое направление пополам.

Основные элементы и формулы прямоугольной системы координат в пространстве

Сначала определите, какой объект дан: ось, плоскость, точка или отрезок. Затем сравните его координаты с условиями в третьем столбце. Формулы расстояния и середины применяйте только после того, как правильно сопоставили координаты с осями Ox, Oy и Oz.

Особенно полезно проверять нулевые координаты: две нулевые координаты указывают на ось, а одна — на координатную плоскость. Если все три координаты равны нулю, получаем начало координат O. Такая проверка быстро выявляет ошибки в записи.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(2; −1; 3) и B(5; 3; 4). Найдём расстояние AB. Нужно сравнить соответствующие координаты, а не складывать координаты каждой точки отдельно.

1. Вычислим разности: 5 − 2 = 3, 3 − (−1) = 4, 4 − 3 = 1.
2. Подставим их в формулу: AB = √(3² + 4² + 1²).
3. Получим AB = √26.

Ответ: √26. Подкоренное выражение положительно, поэтому результат имеет смысл как длина отрезка. Приближённо это 5,1 единицы.

Задача 2. Определим, где лежит точка M(0; 4; −2). В записи есть нулевая первая координата, поэтому проверяем плоскость, связанную с условием x = 0.

1. Сравним координаты точки с условиями плоскостей: x = 0, y = 4, z = −2.
2. Условие x = 0 задаёт плоскость Oyz.
3. Так как y и z не равны нулю, точка не лежит на координатной оси.

Ответ: M лежит в координатной плоскости Oyz. Отрицательное значение z показывает расположение точки со стороны отрицательной полуоси Oz. Ненулевые y и z определяют её положение внутри этой плоскости.

Задача 3. Найдём точку C, симметричную A(−2; 5; 1) относительно начала координат, и расстояние AC. При центральной симметрии начало координат является серединой отрезка AC, поэтому все координаты меняют знаки.

1. Получаем C(2; −5; −1).
2. Находим разности координат: 2 − (−2) = 4, −5 − 5 = −10, −1 − 1 = −2.
3. AC = √(4² + (−10)² + (−2)²) = √120 = 2√30.

Ответ: C(2; −5; −1), AC = 2√30. Координаты C противоположны координатам A по всем трём направлениям. Поэтому начало координат действительно является серединой отрезка.

Типичные ошибки

Перестановка координат меняет саму точку: запись (x; y; z) всегда соответствует порядку Ox, Oy, Oz. Ошибку допускают, когда воспринимают числа как неупорядоченный набор. Проверяйте каждое число по его оси перед вычислениями.

Иногда считают, что координатные плоскости делят пространство на шесть частей. На самом деле три взаимно перпендикулярные плоскости образуют восемь октантов. Для проверки перечислите все комбинации знаков трёх координат.

В формуле расстояния нельзя складывать разности координат без квадратов. Также нельзя забывать квадратный корень, потому что сумма квадратов даёт квадрат длины. Проверьте, что ответ неотрицателен и имеет размерность длины.

Условие x = 0 означает плоскость Oyz, а не Oxy. Причина ошибки в том, что выбирают плоскость по названию отсутствующей оси. Запомните: плоскость содержит две оси, координата которых может меняться, а отсутствующая координата равна нулю.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны прямоугольные координаты на плоскости, координаты точки, теорема Пифагора и формула расстояния между точками. Эти знания переносятся в пространство с добавлением третьего направления. Поэтому пространственная формула выглядит как расширение плоской.

Дальше координаты пригодятся при изучении векторов, уравнений прямых и плоскостей. Они позволяют описывать пространственные объекты числами и решать задачи вычислительными методами. Координатный подход особенно полезен, когда чертёж трудно представить.

Связь с алгеброй проявляется в переводе геометрических условий в уравнения. Например, принадлежность плоскости Oyz записывается как x = 0, а расстояние — формулой с квадратами координатных разностей. Так геометрические свойства становятся проверяемыми алгебраическими выражениями.

Что запомнить

• Положение точки в пространстве задаётся тремя координатами.
• Оси Ox, Oy и Oz попарно перпендикулярны и имеют общее начало O.
• Координатные плоскости — Oxy, Oxz и Oyz.
• Нулевая координата определяет принадлежность точки координатной плоскости.
• Три координатные плоскости делят пространство на восемь октантов.
• Расстояние между точками находят по пространственной теореме Пифагора.
• Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов.