1.2. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координатные векторы — это единичные векторы, направленные вдоль положительных направлений координатных осей. Их обозначают i, j и k; каждый из них задаёт направление одной оси и имеет длину 1. Они нужны, чтобы описывать любой вектор через три простые составляющие.

Координатами вектора называют коэффициенты его разложения по координатным векторам. Если a = x i + y j + z k, то записывают a = (x; y; z). Числа x, y и z показывают вклад вектора вдоль каждой из трёх осей, поэтому геометрическое описание можно заменить вычислениями.

Равные векторы имеют одинаковые координаты, даже если их начальные точки находятся в разных местах пространства. Например, параллельно перенесённый вектор сохраняет направление и длину, а значит, и все составляющие. Это позволяет сравнивать векторы по их записям, не учитывая расположение.

Координаты вектора AB находят как разности соответствующих координат его конца B и начала A. Если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Такая запись показывает изменение координат при движении от A к B.

Как это устроено

Чтобы задать координаты в пространстве, выбирают три взаимно перпендикулярные оси. На каждой отмечают положительное направление и единичный вектор, направленный вдоль этой оси. Перпендикулярность нужна для того, чтобы направления не смешивались: каждый вектор базиса отвечает за свою ось. Совокупность i, j и k образует базис, относительно которого можно описать любой вектор пространства.

Любой вектор можно представить как сумму трёх векторов, направленных вдоль координатных осей. Их длины со знаками и становятся коэффициентами при i, j и k: a = x i + y j + z k. Такое разложение единственно, потому что три направления независимы и взаимно перпендикулярны. Поэтому координаты однозначно задают вектор, а не просто приблизительно описывают его.

При сложении двух векторов складываются их составляющие вдоль каждой оси. Если a = (x₁; y₁; z₁), b = (x₂; y₂; z₂), то a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂). При вычитании соответствующие составляющие вычитаются: a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂; z₁ − z₂). Это следует из того, что коэффициенты при одинаковых координатных векторах складываются или вычитаются отдельно.

Умножение вектора на число λ меняет каждую его составляющую в λ раз. Поэтому для a = (x; y; z) получаем λa = (λx; λy; λz). В разложении λa = λ(x i + y j + z k) число λ умножает каждый коэффициент, что и объясняет правило. При отрицательном λ направление вектора меняется на противоположное.

Если заданы координаты точек A и B, чтобы получить AB, нужно определить изменение каждой координаты при переходе от A к B. Поэтому из координат конечной точки вычитают координаты начальной: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Такой порядок согласуется с направлением стрелки от A к B. Например, положительная разность по первой координате означает движение в сторону увеличения координаты x.

Координатные действия с векторами в пространстве

В таблице сначала найдите строку, которая соответствует нужному действию, а затем примените правило отдельно к каждой координате. Не меняйте порядок координат: первая относится к оси x, вторая — к y, третья — к z. Для вектора между точками особенно внимательно определите, где начало, а где конец.

Разбор задач

Сложение векторов

Даны координаты векторов a = (2; −1; 3) и b = (4; 0; −2). Найдите a + b. Векторы уже представлены в одной системе координат, поэтому их составляющие вдоль каждой оси можно сложить независимо. Следим за знаками чисел при вычислениях.

1. Записываем правило: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).
2. Складываем первые координаты: 2 + 4 = 6.
3. Складываем вторые: −1 + 0 = −1, затем третьи: 3 + (−2) = 1.
4. Собираем результаты в том же порядке: a + b = (6; −1; 1).

Ответ: (6; −1; 1). Порядок действий удобен тем, что координаты разных осей не смешиваются. Проверить ответ можно, отдельно просмотрев три суммы и их знаки.

Вектор по координатам точек

Даны точки A(1; −2; 3) и B(5; 1; −1). Найдите координаты AB. Нужно определить, как меняются координаты при движении от A к B. Поэтому в каждом разряде берём координату B и вычитаем из неё соответствующую координату A. Такое направление вычитания важно: вектор задан именно от A к B.

1. Записываем формулу: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁).
2. Подставляем координаты: AB = (5 − 1; 1 − (−2); −1 − 3).
3. Вычисляем разности: 4, 3 и −4.
4. Записываем координаты вектора: AB = (4; 3; −4).

Ответ: AB = (4; 3; −4). Проверка: координаты A плюс координаты найденного вектора дают координаты B. Например, по третьей оси 3 + (−4) = −1, как и указано у точки B.

Вершина параллелограмма

Даны A(−1; 2; 0), B(2; 4; 3), C(5; 1; −2). Найдите координаты D, если ABCD — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны как векторы, поэтому AB = DC. Сначала найдём известный вектор AB, а затем используем равенство, чтобы определить неизвестную точку D.

1. Находим AB = B − A = (2 − (−1); 4 − 2; 3 − 0) = (3; 2; 3).
2. Обозначаем D = (x; y; z). Тогда DC = C − D = (5 − x; 1 − y; −2 − z).
3. Приравниваем координаты DC и AB: 5 − x = 3, 1 − y = 2, −2 − z = 3.
4. Решаем уравнения: x = 2, y = −1, z = −5.

Ответ: D(2; −1; −5). Обоснование состоит в использовании свойства параллелограмма AB = DC и покоординатного равенства векторов. Проверка: DC = (3; 2; 3), то есть совпадает с AB.

Типичные ошибки

Вычитание координат вектора AB иногда выполняют в обратном порядке: A − B вместо B − A. Это происходит потому, что запись AB читают слева направо и механически начинают с первой буквы. Проверяйте направление стрелки: конец минус начало, то есть B − A. Дополнительная проверка — координаты A плюс AB должны дать координаты B.

При сложении или умножении векторов можно случайно смешать координаты разных осей, например сложить первую координату одного вектора со второй координатой другого. Причина — невнимательное сопоставление чисел в записи. Действуйте по трём позициям: первая с первой, вторая со второй, третья с третьей. После вычисления убедитесь, что в ответе осталось три координаты в прежнем порядке.

Иногда считают, что равные векторы обязаны иметь одну и ту же начальную точку. Такое представление возникает, если воспринимать вектор только как стрелку, закреплённую в конкретном месте. На самом деле достаточно одинаковых длины и направления, а в координатной записи — равных соответствующих координат. Проверяйте равенство по трём координатам, а не по расположению стрелок.

Координаты точки путают с координатами вектора, потому что и те и другие записывают тройкой чисел. Но точка задаёт положение в пространстве, а вектор описывает составляющие перемещения относительно базиса. Чтобы проверить, что перед вами, посмотрите на обозначение и смысл: A(x; y; z) — точка, а AB или a — вектор. Для AB координаты получают из координат двух точек вычитанием.

Связь с другими темами

Для изучения координат вектора нужно знать, как устроена прямоугольная система координат в пространстве, как задают координаты точек и что называют вектором. Эта тема переводит геометрические действия с векторами в вычисления с числами, что помогает решать задачи без построения каждого вектора. Покоординатные правила понадобятся при изучении скалярного произведения, угла между векторами и расстояний в пространстве. Поэтому умение находить и сравнивать координаты становится основой для дальнейших тем стереометрии.

Что запомнить

• Координатные векторы i, j, k задают базис пространства.
• Координаты вектора — коэффициенты его разложения по координатным векторам.
• Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
• При сложении и вычитании векторов действия выполняют покоординатно.
• При умножении вектора на число каждую координату умножают на это число.
• Координаты AB равны координатам B минус координаты A.