87. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координатная плоскость — это плоскость с двумя координатными осями, на которой задают положение точек и векторов. По ней можно описать, где находится точка, и измерить перемещение по горизонтальному и вертикальному направлениям. Такая система позволяет заменить геометрические рассуждения вычислениями.

Координаты вектора — числа, показывающие его перемещения по направлениям координатных осей. Первое число отвечает за перемещение вдоль горизонтальной оси, второе — вдоль вертикальной. По ним можно понять, куда и на сколько направлен вектор.

Координатная запись вектора — запись в виде упорядоченной пары чисел (x; y). Порядок чисел важен: на первом месте стоит перемещение по первой оси, на втором — по второй. Такая запись помогает выполнять действия с векторами, не привязываясь к их расположению на плоскости.

Радиус-вектор — вектор, начало которого находится в начале координат, а конец совпадает с заданной точкой. Поэтому координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца. С помощью него удобно связывать координаты точек и векторов.

Как это устроено

Пусть начало вектора AB — точка A(x₁; y₁), а конец — точка B(x₂; y₂). Чтобы узнать горизонтальное перемещение, сравнивают координаты x: из конечной вычитают начальную, то есть получают x₂ − x₁. По вертикали рассуждают так же, поэтому AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Именно порядок «конец минус начало» показывает перемещение от A к B, а не в обратную сторону.

Если передвинуть вектор параллельно самому себе, его начало и конец окажутся в других точках, но перемещение между ними останется прежним. Например, сдвиг на 4 клетки вправо и 2 клетки вверх даёт те же координаты, где бы ни начинался этот сдвиг. При переносе обе конечные и начальные координаты меняются на одинаковые числа, поэтому их разности не меняются. Значит, координаты вектора зависят от его длины и направления, а не от места на плоскости.

Два вектора равны, когда у них совпадают длина и направление; на координатной плоскости это означает равенство соответствующих координат. Нулевой вектор не задаёт перемещения и записывается как (0; 0). Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны, поэтому каждая координата одного равна координате другого с обратным знаком. Например, векторы (3; −1) и (−3; 1) противоположны.

При сложении векторов перемещения по каждой оси складываются отдельно. Поэтому для a = (a₁; a₂) и b = (b₁; b₂) получаем a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂): горизонтальные перемещения образуют первую координату, вертикальные — вторую. Вычитание устроено так же, но соответствующие перемещения вычитают: a − b = (a₁ − b₁; a₂ − b₂). Смешивать координаты разных осей нельзя, потому что они описывают разные направления.

При умножении вектора на число каждое его перемещение увеличивается или уменьшается в одинаковое число раз: k(a₁; a₂) = (ka₁; ka₂). Если k положительно, направление сохраняется; при k больше 1 вектор становится длиннее, а при числе от 0 до 1 — короче. Отрицательный множитель меняет направление на противоположное, потому что меняет знаки обеих координат. При k = 0 получается нулевой вектор.

Координаты вектора и действия с векторами

Сначала определите, что именно требуется найти: вектор между точками, сумму, разность или произведение. Затем выберите соответствующее правило и выполняйте действия отдельно с первыми и вторыми координатами. Для вектора между точками обязательно соблюдайте порядок: координаты конца минус координаты начала.

Разбор задач

Даны точки A(−2; 3) и B(4; −1). Найдём координаты вектора AB. Он направлен от A к B, поэтому координаты B будут конечными, а координаты A — начальными. Сравним перемещения отдельно по двум осям.

1. По первой оси: 4 − (−2) = 6. Перемещение вправо составляет 6 единиц.
2. По второй оси: −1 − 3 = −4. Отрицательный результат показывает перемещение вниз на 4 единицы.
3. Записываем полученные числа по порядку: AB = (6; −4).

Ответ: AB = (6; −4).

Даны векторы a = (3; −2) и b = (−1; 4). Найдём 2a − b. Сначала умножим обе координаты a на 2, затем вычтем соответствующие координаты b. Такой порядок помогает не перепутать действия и компоненты.

1. Умножаем вектор a на 2: 2a = (2 · 3; 2 · (−2)) = (6; −4).
2. Вычитаем b почленно: 2a − b = (6 − (−1); −4 − 4).
3. Вычисляем: (7; −8).

Ответ: 2a − b = (7; −8).

Даны A(1; −2), B(5; 1), C(−2; 4). Найдём координаты D, чтобы ABCD был параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы AB и DC равны. Уравнение AB = DC позволит определить координаты неизвестной точки.

1. Находим AB: (5 − 1; 1 − (−2)) = (4; 3).
2. Пусть D(x; y). Тогда DC = (−2 − x; 4 − y), поскольку вектор направлен из D в C.
3. Приравниваем координаты: −2 − x = 4 и 4 − y = 3. Отсюда x = −6, y = 1.

Проверка даёт DC = (4; 3), как и AB. Ответ: D(−6; 1).

Типичные ошибки

Иногда при поиске координат AB вычитают координаты B из координат A. Так получают перемещение в обратном направлении — BA, потому что перепутаны начало и конец. Перед вычислением подпишите, какая точка начальная, и проверьте направление: AB должно вести именно от A к B.

При сложении или вычитании можно случайно соединить первую координату одного вектора со второй координатой другого. Это происходит, когда забывают, что координаты отвечают за разные оси. Держите записи в виде пар и выполняйте действия строго в столбик: первая с первой, вторая со второй.

Бывает, что считают координаты вектора зависимыми от того, где нарисовано его начало. Но при параллельном переносе начало и конец сдвигаются одинаково, так что разности координат остаются прежними. Проверить себя можно, перенеся вектор на другое место и сравнив его направление и длину: координатная пара не должна измениться.

При умножении на число иногда изменяют только одну координату или забывают о знаке множителя. Тогда получается другой вектор, поскольку его перемещения по осям изменились неодинаково или неверно. Умножайте обе координаты и проверяйте знак: отрицательное число должно изменить направление обеих компонент.

Связь с другими темами

Для работы с координатами вектора нужны знания о координатах точки и о координатных осях. Также пригодятся сложение, вычитание и умножение векторов: с координатами эти действия становятся понятными вычислениями. Если освоить этот способ, будет легче решать задачи на параллелограммы, середины отрезков и равенство векторов.

Координатный метод переносит геометрическую задачу на язык чисел. Позже этот подход станет основой аналитической геометрии, где фигуры описывают с помощью координат и уравнений. Поэтому умение работать с координатами вектора понадобится и в следующих темах.

Что запомнить

• Координаты вектора AB находят вычитанием координат начала из координат конца.
• Вектор задаётся упорядоченной парой чисел.
• Равные векторы имеют соответственно равные координаты.
• Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат.
• Координаты разности векторов равны разностям соответствующих координат.
• При умножении вектора на число на это число умножаются обе его координаты.
• Нулевой вектор имеет координаты (0; 0).