93. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координаты точки — числа, которые задают её положение на координатной плоскости. Точку записывают так: A(x; y), где первое число x — абсцисса, а второе y — ордината. По этим числам можно определить, где находится точка, и сравнить её положение с другой точкой. Такой порядок записи важно сохранять и при работе с векторами.

Координаты вектора — числа, показывающие, на сколько единиц нужно переместиться по горизонтали и вертикали, чтобы получить этот вектор. Например, положительная первая координата означает движение вправо, а отрицательная — влево; знак второй координаты показывает движение вверх или вниз. По координатам можно описать перемещение, не рисуя вектор на плоскости. Это удобно, когда нужно вычислять или сравнивать векторы.

Первую координату вектора называют его абсциссой, а вторую — ординатой. Если координаты вектора записаны как (a₁; a₂), то a₁ — абсцисса, a₂ — ордината. Эти названия помогают не перепутать горизонтальное и вертикальное перемещения. Координаты всегда записывают в одном порядке: сначала абсциссу, затем ординату.

Как это устроено

Чтобы найти координаты вектора AB, сравнивают положение точек A и B по каждой оси отдельно. Первая координата показывает, насколько изменилось положение по горизонтали, а вторая — по вертикали. Если точка B правее A, первая координата будет положительной; если левее — отрицательной. Аналогично знак второй координаты зависит от того, расположена ли B выше или ниже A.

Пусть A(x₁; y₁), а B(x₂; y₂). Тогда AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁): для горизонтального перемещения сравнивают абсциссы, для вертикального — ординаты. Из координаты конца вычитают координату начала, потому что перемещение показывает, насколько изменилось положение при переходе от A к B. Например, если по горизонтали начали в точке с координатой 2, а закончили в 7, то сместились на 7 − 2 = 5 единиц.

Если вектор перенести параллельно самому себе в другое место плоскости, его координаты останутся прежними. При таком переносе меняются координаты новых начала и конца, но одинаково, поэтому разности координат сохраняются. Значит, координаты описывают само перемещение, а не место, где нарисована стрелка. Поэтому у равных векторов координаты одинаковы.

Противоположный вектор имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону. Если исходный вектор перемещает точку вправо на a₁ и вверх на a₂, обратный перемещает её влево на a₁ и вниз на a₂. Поэтому обе координаты меняют знак: для (a₁; a₂) противоположный вектор равен (−a₁; −a₂). Меняется направление по обеим осям, а не только по одной.

Горизонтальное и вертикальное перемещения перпендикулярны, поэтому вместе с вектором образуют прямоугольный треугольник. Перемещения по осям — его катеты, а сам вектор — гипотенуза. По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна √(a² + b²). Знаки координат влияют на направление, но при вычислении длины координаты возводят в квадрат.

Координаты вектора: как найти и что они показывают

В таблице собраны правила для координат и длины вектора. В строках, где рассматриваются координаты, сначала проверьте, какой вектор или его направление нужно найти, а затем примените соответствующее правило. Формула длины пригодится после того, как координаты вектора уже известны.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(1; 2) и B(4; 6). Найдите координаты вектора AB. Нужно получить перемещение от A к B, поэтому из координат B вычтем соответствующие координаты A. Считаем отдельно горизонтальное и вертикальное изменения.

1. Первая координата: 4 − 1 = 3.
2. Вторая координата: 6 − 2 = 4.
3. Записываем координаты в порядке «горизонталь; вертикаль»: AB = (3; 4).

Ответ: AB = (3; 4). Обе координаты положительны, значит, путь от A к B идёт вправо и вверх.

Задача 2. Дан вектор AB = (−3; 5), а точка A имеет координаты (2; −1). Найдите координаты точки B. Координаты вектора показывают, как перейти от начала A к концу B: сначала сместиться по горизонтали, затем по вертикали. Поэтому прибавим каждую координату вектора к соответствующей координате точки A.

1. Абсцисса точки B: 2 + (−3) = −1.
2. Ордината точки B: −1 + 5 = 4.
3. Записываем координаты конца: B(−1; 4).

Ответ: B(−1; 4). Проверка: из координат B вычитаем координаты A и получаем (−1 − 2; 4 − (−1)) = (−3; 5), как и дано.

Задача 3. Найдите длину вектора MN, если M(−2; 1), N(4; 9), и укажите координаты противоположного вектора. Сначала найдём перемещение от M к N, ведь именно его координаты понадобятся в формуле длины. Затем используем теорему Пифагора, а для противоположного вектора изменим знаки обеих координат.

1. Координаты MN: (4 − (−2); 9 − 1) = (6; 8).
2. Длина: √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
3. Противоположный вектор имеет координаты (−6; −8).

Ответ: длина MN равна 10, координаты противоположного вектора — (−6; −8). Знаки у противоположного вектора изменились оба, а длина осталась той же.

Типичные ошибки

Первая ошибка — вычитать координаты начала из координат конца в обратном порядке. Так получают координаты вектора, направленного от B к A, потому что направление зависит от порядка точек. Её допускают, когда запоминают формулу без смысла слов «от начала к концу». Проверка: подставьте координаты вектора в путь от A; если он приводит к B, порядок верный.

Вторая ошибка — менять местами абсциссу и ординату. Тогда горизонтальное перемещение ошибочно принимают за вертикальное, а вертикальное — за горизонтальное. Это случается, если не следить за порядком чисел в записи точки и вектора. Проверяйте, что первой стоит разность абсцисс, а второй — разность ординат.

Третья ошибка — считать, что координаты вектора меняются при переносе его рисунка. В таком рассуждении путают место вектора на плоскости с тем, какое перемещение он задаёт. У равных векторов координаты одинаковы независимо от их положения. Проверить это можно сравнением разностей координат начала и конца каждого вектора.

Четвёртая ошибка — при переходе к противоположному вектору менять знак только у одной координаты. Так меняется направление лишь по одной оси, а не всего вектора. Ошибку проще заметить, если представить оба перемещения отдельно: и горизонтальное, и вертикальное должны стать обратными. Поэтому у координат (a₁; a₂) противоположного вектора оба знака противоположны.

Связь с другими темами

Для работы с координатами вектора нужно уметь читать координаты точек на плоскости и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Эти навыки помогают верно определить, в какую сторону направлен вектор, и вычислить разности координат. Если одна координата отрицательна, её знак обязательно учитывают при вычитании. Координаты векторов затем используют при сложении векторов, нахождении противоположного вектора и вычислении длины.

Что запомнить

• Координаты вектора показывают горизонтальное и вертикальное перемещения.
• Координаты вектора AB равны (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
• Из координат конца вычитают соответствующие координаты начала.
• У равных векторов одинаковые координаты.
• Координаты противоположного вектора отличаются знаками.
• Длину вектора с координатами (a; b) находят по формуле √(a² + b²).