92. Равенство векторов

Определения и обозначения

Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковые длины и одинаковое направление. Иначе говоря, один вектор можно перенести параллельно самому себе так, чтобы он совпал с другим. Это определение позволяет сравнивать векторы, даже если они нарисованы в разных местах.

Сонаправленные векторы — это параллельные векторы, направленные в одну сторону. Например, два горизонтальных вектора сонаправлены, если оба указывают вправо или оба указывают влево. Понятие нужно, чтобы отличать совпадающие направления от противоположных: одной параллельности для этого мало.

Длина вектора — это длина отрезка, который изображает этот вектор. Её обычно находят по длине направленного отрезка на чертеже или по указанным данным. У равных векторов длины обязательно равны, поэтому сравнение длин — один из двух шагов проверки.

Как это устроено

Вектор изображают направленным отрезком: его начало отмечают у одного конца, а конец — у другого. Если пройти по отрезку от начала к концу, станет понятно, куда направлен вектор. Расстояние между этими точками задаёт его длину, поэтому начало, конец и длина вместе позволяют описать изображённый вектор.

Равной длины недостаточно для равенства, потому что длина сообщает только, насколько длинен вектор, но не указывает, куда он направлен. Представь два отрезка длиной 4 см: один направлен вправо, другой — вверх. Их длины совпадают, но направление различается, поэтому такие векторы не равны.

Одного совпадения направления тоже недостаточно: направление показывает сторону, но не величину длины. Например, два вектора могут быть направлены вправо, однако один иметь длину 2 см, а другой — 5 см. Они сонаправлены, но не равны, потому что их длины отличаются.

Чтобы проверить равенство, сначала сравни длины векторов, а затем их направления. Направления совпадают, если векторы параллельны и указывают в одну сторону, то есть являются сонаправленными. Только при выполнении обоих условий векторы равны; если хотя бы одно условие не выполнено, равенства нет.

Равные векторы могут находиться в разных местах плоскости, поскольку положение направленного отрезка не входит в признаки равенства. Например, вектор, изображённый слева, можно мысленно перенести вправо, не меняя его длины и направления. Если после такого переноса он совпадёт с другим вектором, эти векторы равны, даже если изначально у них не было общих точек.

Признаки равенства векторов

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала установи равенство длин, затем сравни направления. Если одно из условий не выполнено, векторы не равны. Параллельность сама по себе не заменяет проверку сонаправленности.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке два вектора имеют длину 3 см и направлены вправо. Определите, равны ли они.

1. Сравним длины: у каждого вектора она равна 3 см, значит, длины совпадают.
2. Проверим направления: оба вектора горизонтальные и направлены вправо, следовательно, они сонаправлены.
3. Оба условия равенства выполнены, поэтому векторы равны.

Ответ: векторы равны.

Задача 2. Даны два вектора одинаковой длины, но один направлен вверх, а другой вниз. Равны ли они?

1. По условию длины векторов одинаковы, значит, первое условие равенства выполнено.
2. Направления противоположны: один вектор указывает вверх, другой — вниз. Поэтому векторы не сонаправлены.
3. Для равенства нужны и одинаковые длины, и совпадающие направления. Второго условия нет, значит, векторы не равны.

Ответ: векторы не равны.

Задача 3. На чертеже изображены несколько векторов с разными началами и концами. Найдите среди них равные, используя данные о длинах и параллельности.

1. Сначала сгруппируй векторы по длине: в одну группу помести все векторы одинаковой длины. Векторы из разных групп равными быть не могут.
2. Внутри каждой группы сравни направления. Из параллельных векторов оставь пары, направленные в одну сторону; противоположно направленные пары исключи.
3. Каждая оставшаяся пара имеет равные длины и совпадающие направления, поэтому её векторы равны. Разные начала и концы этому не мешают.

Ответ: равны векторы одинаковой длины, которые сонаправлены; точные пары определяются по данным чертежа.

Типичные ошибки

Можно принять любые векторы одинаковой длины за равные, забыв про направление. Так происходит, когда внимание сосредоточено только на измерении отрезков. Проверь себя: сравни, куда указывает каждый вектор; если направления различаются, равенства нет.

Другая ошибка — считать равными любые параллельные векторы. Параллельность не гарантирует ни одинаковую длину, ни одинаковое направление: один вектор может быть длиннее, а другой — смотреть в противоположную сторону. Проверь оба признака отдельно, а не ограничивайся видом линий на чертеже.

Сонаправленность иногда путают с противоположной направленностью, потому что и те и другие векторы параллельны. Но сонаправленные указывают в одну сторону, а противоположно направленные — в разные. Чтобы проверить себя, проследи путь от начала к концу каждого вектора и сравни, в какую сторону он идёт.

Некоторые считают, что равные векторы должны иметь общее начало или совпадающие концы. Это неверно: начало и конец нужны, чтобы задать направление и длину, но расположение отрезка на плоскости может быть разным. Проверь себя мысленным параллельным переносом: длина и направление сохраняются, даже если вектор переместить.

Связь с другими темами

Для изучения равенства векторов нужно знать, что такое вектор, где находятся его начало и конец, как понимать его длину и направление. Эти понятия дают два признака, которые приходится сравнивать. Позже равенство векторов пригодится при изучении действий с векторами: одинаковые длины и направления позволяют работать с ними, не привязываясь к месту изображения. Оно также используется при доказательстве геометрических утверждений.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• Равные векторы имеют одинаковую длину.
• Равные векторы сонаправлены.
• Одинаковой длины недостаточно для равенства векторов.
• Параллельности недостаточно для равенства векторов.
• Равные векторы могут быть изображены в разных местах плоскости.