91. Абсолютная величина и направление вектора

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого различают начало и конец. Его обозначают двумя буквами с чертой или стрелкой сверху: AB⃗ означает вектор от точки A к точке B. Такой записи достаточно, чтобы понять, откуда начинается движение и куда оно направлено.

Абсолютная величина вектора — длина отрезка, изображающего этот вектор. Для вектора a её обозначают |a|. Длина не бывает отрицательной, поэтому абсолютная величина равна нулю или больше нуля.

Равные векторы — векторы с одинаковой абсолютной величиной и одинаковым направлением. Они могут быть изображены в разных частях чертежа, потому что их положение не входит в определение равенства. Это позволяет сравнивать векторы, не привязывая их к одной точке.

Одинаковое направление имеют векторы, лежащие на параллельных прямых и ориентированные в одну сторону. Если стрелки на таких прямых смотрят в разные стороны, направления противоположны. Различать эти случаи нужно, чтобы не принять параллельность за равенство векторов.

Нулевой вектор — вектор с совпадающими началом и концом. Его абсолютная величина равна нулю, а направление не определяется. Это особый случай: обычный отрезок имеет длину, но не задаёт движения в какую-либо сторону.

Как это устроено

Одной длины недостаточно, чтобы описать вектор, потому что отрезки одной длины можно направить по-разному. Например, стрелка длиной 3 см может быть направлена вправо, влево или вверх. Во всех случаях абсолютная величина будет равна 3 см, но сами векторы окажутся разными. Поэтому вектор описывает и величину перемещения, и его ориентацию.

Абсолютная величина и направление вместе позволяют определить вектор. Если известна только длина, остаётся много возможных направлений; если известно только направление, остаются разные длины. Когда заданы обе характеристики, можно сопоставить векторы, даже если они лежат на разных прямых. Для этого представьте, что один вектор можно перенести параллельно самому себе, не меняя его длины и ориентации.

Равным векторам не обязательно иметь общую начальную точку, потому что сравнивают не их расположение на листе, а свойства направленных отрезков. Например, два отрезка, нарисованные в разных местах, могут быть равными, если они одинаковой длины и стрелки направлены одинаково. Перенос одного такого отрезка не изменит ни длину, ни направление. Это свойство удобно, когда векторы нужно сравнить в геометрической фигуре.

На чертеже равенство проверяют по трём признакам. Сначала выясняют, параллельны ли прямые, на которых лежат векторы: иначе их направления не могут совпадать. Затем сравнивают ориентацию стрелок, ведь параллельные векторы могут быть направлены противоположно. Наконец, проверяют длины отрезков; только совпадение всех условий подтверждает равенство.

У нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому он не указывает, в какую сторону двигаться. Его абсолютная величина равна нулю, тогда как у любого ненулевого вектора длина больше нуля. Нельзя назначить нулевому вектору направление по положению точки или по соседнему отрезку. Поэтому при сравнении отдельно отмечают, что его направление не определено.

Основные характеристики вектора

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: определите, что именно нужно сравнить, и найдите соответствующий признак. Для равенства векторов проверяйте сразу направление и абсолютную величину. Нулевой вектор распознавайте отдельно: его длина равна нулю, а направление не задаётся.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже изображены два направленных отрезка одинаковой длины, но они не параллельны. Нужно определить, равны ли соответствующие векторы. Равная длина подтверждает совпадение только одной характеристики.

1. Обозначим длины обоих отрезков: по условию они равны, значит, абсолютные величины векторов совпадают.
2. Проверим направления: если несущие прямые не параллельны, направления векторов не могут быть одинаковыми.
3. Сопоставим условия равенства: длины равны, но направления различаются, поэтому векторы не равны.

Ответ: векторы не равны. Одинаковая длина сама по себе не делает векторы равными, а непараллельность здесь сразу показывает, что их направления не совпадают.

Задача 2. В параллелограмме ABCD нужно указать равные векторы, заданные его сторонами. Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны по длине. Но при записи векторов нужно также учитывать, в какую сторону направлена каждая стрелка.

1. Сопоставим стороны AB и DC: они параллельны и равны, а направления векторов AB⃗ и DC⃗ совпадают.
2. Сопоставим стороны AD и BC: они тоже параллельны и равны, и векторы AD⃗ и BC⃗ направлены одинаково.
3. Проверим другие записи по вершинам: векторы BA⃗ и CD⃗ равны между собой, как и DA⃗ и CB⃗, потому что в каждой паре стрелки направлены в одну сторону.

Ответ: AB⃗ = DC⃗, AD⃗ = BC⃗, BA⃗ = CD⃗ и DA⃗ = CB⃗. Сравнение стрелок важно: например, AB⃗ и CD⃗ лежат на параллельных сторонах, но направлены противоположно, поэтому равными не являются.

Задача 3. На чертеже показаны несколько направленных отрезков, часть из них лежит на параллельных прямых. Нужно найти все пары равных векторов и выяснить, есть ли нулевой вектор. Сам чертёж в условии не описан длинами и ориентацией каждой стрелки, поэтому конкретные пары можно назвать только после проверки отмеченных на нём отрезков.

1. Для каждого вектора запишите или отметьте его длину и направление, не сравнивая пока векторы только по внешнему сходству.
2. Сгруппируйте векторы на параллельных прямых; внутри каждой группы оставьте вместе только стрелки, смотрящие в одну сторону.
3. Сравните длины оставшихся отрезков: пары с равными длинами и одинаковой ориентацией являются равными векторами.
4. Поищите вектор с совпавшими началом и концом; только он будет нулевым, и направление ему назначать не нужно.

Ответ: равными будут все пары, для которых совпадают параллельность, ориентация и длина. Нулевой вектор есть на чертеже, если у какого-либо вектора начало совпадает с концом; без этих сведений нельзя определить конкретные пары или утверждать, что такой вектор изображён.

Типичные ошибки

Ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Её допускают, когда замечают измеряемую величину, но не проверяют стрелки. Сравните также направления: равные по длине отрезки могут указывать в разные стороны. Перед выводом проверьте обе характеристики.

Ошибка — принимать любые параллельные векторы за одинаково направленные. Параллельность относится к прямым, а не к тому, куда смотрят стрелки; на параллельных прямых стрелки могут быть противоположно ориентированы. Проведите взгляд вдоль каждого вектора от начала к концу. Если стороны движения различаются, направления противоположны.

Ошибка — полагать, что равные векторы должны иметь одну начальную точку. Так думают, потому что векторы часто изображают из одной точки для удобства сравнения. Но равенство определяется совпадением длины и направления, а не местом на чертеже. Проверьте свойства отрезков, даже если их концы не совпадают.

Ошибка — приписывать направление нулевому вектору. У него совпадают начало и конец, поэтому нельзя проследить движение от одной точки к другой. Его абсолютная величина равна нулю, но направление не определяется. Проверьте, есть ли у отрезка различимые начало и конец; если они совпали, стрелка не задаёт направления.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в векторах, нужно уметь измерять длины отрезков и сравнивать их. Также пригодится распознавание параллельных прямых и умение определять направление по стрелке. Эти навыки позволяют проверить равенство векторов по чертежу, а не делать вывод только по внешнему виду.

Длина и направление становятся основой для дальнейшего изучения действий над векторами. Сравнение векторов помогает решать геометрические задачи, где важны перемещения и взаимное расположение отрезков. Когда свойства вектора понятны, легче рассуждать о сложении и других действиях с ним.

Что запомнить

• Вектор задаётся направленным отрезком.
• Абсолютная величина вектора — длина изображающего его отрезка.
• Абсолютная величина не может быть отрицательной.
• Для равенства векторов нужны и равные длины, и одинаковые направления.
• Равные векторы могут быть изображены в разных местах.
• У нулевого вектора абсолютная величина равна нулю, направление не определено.