§10. Векторы

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой сверху: первая буква показывает начало, вторая — конец, например AB. Такое обозначение помогает понять, в какую сторону рассматривается отрезок.

Вектор — направленный отрезок, который рассматривают с учётом его длины и направления. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например AB, или одной малой буквой, например a. Это позволяет описывать перемещение, для которого недостаточно указать только расстояние.

Длина вектора — длина соответствующего ему отрезка. Длину вектора AB записывают как |AB|, а длину вектора a — как |a|. Такое обозначение отделяет численную длину от направления, которое у вектора тоже есть.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинакового направления, даже если они приложены в разных точках. Для равенства не требуется, чтобы их начала совпадали. Это определение позволяет сравнивать векторы независимо от их положения на плоскости.

Как это устроено

Обычный отрезок сообщает, какие две точки соединены и каково расстояние между ними, но сам по себе не указывает, в какую сторону нужно двигаться. Для перемещения, например, недостаточно сказать «пройти 3 см»: нужно знать ещё и направление. Поэтому вектор сохраняет длину отрезка и добавляет к ней направление от начала к концу. Именно эти два свойства полностью характеризуют ненулевой вектор.

В обозначении AB порядок букв нужен, чтобы не перепутать начало и конец. Первая точка задаёт место, откуда начинается движение, а вторая — куда оно направлено. Если поменять буквы местами, получится BA: длина останется прежней, но движение будет направлено обратно. Поэтому AB и BA нельзя считать одним и тем же вектором, кроме случая нулевого вектора, когда обе точки совпадают.

Равные векторы могут выглядеть как разные отрезки, потому что на плоскости они могут быть расположены в разных местах. Их положение не меняет ни длину, ни направление: важны только эти две характеристики. Например, если один вектор направлен вправо и имеет длину 4 см, таким же будет любой вектор длиной 4 см, направленный вправо. Сравнивать нужно свойства, а не точки, через которые проходят отрезки.

Чтобы перенести вектор в другую точку, сначала отмечают новое начало, а затем строят от него отрезок нужной длины в прежнем направлении. Для этого можно приложить линейку и угольник или аккуратно отложить длину и направление по чертежу. Новый направленный отрезок будет равен исходному, потому что сохранены оба условия равенства. Перемещение самого рисунка не меняет вектор, а лишь меняет место, где он изображён.

Нулевой вектор возникает, когда начало и конец направленного отрезка совпадают. Между этими точками нет расстояния, поэтому длина такого вектора равна нулю. Направление у него определить нельзя: чтобы задать направление, нужно указать движение из одной точки в другую, а здесь точки одни и те же. Нулевой вектор обозначают, например, AA со стрелкой сверху или малой буквой с указанием, что длина равна нулю.

Сравнение направленных отрезков и векторов

Пользуйся таблицей, чтобы различать сам направленный отрезок и его свойства. При проверке равенства сначала сравни длины, затем направления: одного совпадения недостаточно. Для нулевого вектора отдельно помни, что его длина равна нулю, а направление не задаётся.

Разбор задач

Задача 1

Условие: на прямой отмечены точки A и B. Запишите обозначение вектора, направленного от A к B, и укажите его длину. Чтобы ответить, нужно учесть порядок точек и отличить запись вектора от записи его длины. Численное значение длины без сведений о расстоянии между точками определить нельзя.

1. Начало движения — точка A, поэтому она стоит первой в обозначении.
2. Конец движения — точка B, поэтому записываем вектор AB со стрелкой сверху.
3. Длину соответствующего отрезка обозначаем |AB|; численное значение можно узнать, только если оно дано или измерено.

Ответ: вектор от A к B — AB со стрелкой сверху, его длина — |AB|.

Задача 2

Условие: дан вектор a длины 4 см. Постройте равный ему вектор, начало которого находится в точке C. Равный вектор обязан сохранить и длину, и направление, поэтому недостаточно просто отложить 4 см в произвольную сторону. Поскольку направление заданного вектора известно по его изображению, его нужно перенести от новой точки.

1. Отметьте точку C — она будет началом нового вектора.
2. Определите направление заданного вектора a и проведите из C луч с таким же направлением.
3. На луче отложите от точки C отрезок длиной 4 см и отметьте его конец D.
4. Обозначьте полученный вектор CD со стрелкой сверху и проверьте длину и направление.

Ответ: вектор CD со стрелкой сверху, построенный в направлении a и длиной 4 см, равен вектору a.

Задача 3

Условие: даны направленные отрезки AB и CD, причём AB = CD, но направления от A к B и от C к D противоположны. Требуется определить, равны ли соответствующие векторы. Равные длины удовлетворяют лишь одному условию, поэтому нужно проверить и второе — совпадение направлений. Противоположные направления этому условию не соответствуют.

1. Сравните длины: по условию |AB| = |CD|.
2. Сравните направления от начала к концу: они противоположны.
3. Поскольку для равенства нужны одновременно одинаковые длины и направления, сделайте вывод.

Ответ: векторы AB и CD не равны, так как их направления противоположны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать векторы равными только потому, что длины у них одинаковы. Так происходит, когда внимание сосредоточено на измерении отрезков, а направление не учитывается. Проверь себя: сравни не только длины, но и стрелки; они должны указывать в одну сторону.

Ошибка: путать векторы AB и BA. Длина при перестановке букв не меняется, поэтому направление легко упустить. Проверь себя по обозначению: первая буква — начало, вторая — конец; при обратном порядке стрелка тоже направлена обратно.

Ошибка: считать, что равные векторы обязательно имеют общее начало. Их могут рисовать рядом или прикладывать к одной точке для сравнения, но такое расположение не является условием равенства. Проверь себя: достаточно ли совпадают длина и направление, даже если точки начала разные?

Ошибка: приписывать нулевому вектору определённое направление. Иногда его пытаются направить туда, куда будто бы смотрит условная стрелка, хотя начало и конец совпадают. Проверь себя: если перемещения между разными точками нет и длина равна нулю, направление не задано.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно знать, что такое отрезок и его длина, а также понимать направление на прямой. Эти понятия помогают правильно читать запись AB и различать начало и конец. Если они освоены, легче перейти от обычного измерения расстояния к описанию перемещения.

Векторы понадобятся при изучении сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число и решении геометрических задач. В этих темах длина и направление будут использоваться вместе: например, при построении нового вектора или сравнении нескольких перемещений. Поэтому умение обозначать вектор и проверять равенство — основа дальнейшей работы.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• Вектор AB направлен от A к B.
• Длина вектора равна длине соответствующего отрезка.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и направления.
• Положение вектора на плоскости не влияет на его равенство другому вектору.
• У нулевого вектора длина равна нулю, а направление не определено.