§ 34. Векторы

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого различают начало и конец. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например AB, или одной строчной буквой со стрелкой: a. В отличие от обычного отрезка, вектор учитывает не только расстояние между точками, но и направление от начала к концу. Это позволяет описывать перемещение: куда и на сколько нужно перейти.

Длина вектора — расстояние между его началом и концом; её называют также модулем и обозначают |a| или |AB|. У направленных отрезков одинаковой длины могут быть разные направления, поэтому длина сама по себе не задаёт вектор. Модуль помогает сравнивать перемещения и участвует в формулах для действий с векторами.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одного направления. Их обозначают равенством a = b; положение в пространстве при этом не имеет значения. Такое определение позволяет считать векторами однотипные перемещения, даже если они начинаются в разных точках.

Противоположный вектор −a имеет ту же длину, что и a, но направлен в другую сторону. Нулевой вектор обозначают 0: его начало и конец совпадают, поэтому его длина равна нулю, а определённого направления нет. Эти понятия нужны, чтобы корректно задавать вычитание и случаи умножения на отрицательное число.

Как это устроено

Вектор называют свободным, если важны только его длина и направление, а конкретное место несущественно. Поэтому его можно параллельно переносить: такой перенос не меняет ни расстояние между началом и концом, ни направление. Это удобно, когда нужно совместить векторы для построения суммы. Например, второй вектор переносят так, чтобы его начало оказалось в конце первого.

Сумму a + b строят по правилу треугольника: от конца a откладывают равный b вектор, а результат проводят от начала a к концу перенесённого b. По правилу параллелограмма оба вектора помещают в общее начало, достраивают параллелограмм, и его диагональ из общего начала даёт ту же сумму. Результат совпадает, потому что в обоих построениях сохраняются длины и направления слагаемых, а итоговое перемещение ведёт из одной и той же начальной точки в одну и ту же конечную. Поэтому способ расположения векторов на чертеже не меняет сумму.

Чтобы вычесть b из a, к a прибавляют противоположный вектор −b: a − b = a + (−b). Причина в том, что движение на b, а затем на −b возвращает в исходное положение; обратное направление и есть способ компенсировать вычитаемый вектор. На чертеже сначала находят направление −b, а потом применяют правило треугольника. Так вычитание сводится к уже знакомому сложению.

При умножении a на число k длина результата равна |k||a|. Если k положительно, направление сохраняется; если отрицательно — меняется на противоположное, потому что отрицательный множитель разворачивает вектор. При k = 0 получается нулевой вектор: длина становится равной нулю. Правило согласуется с умножением координат вектора на одно и то же число.

Векторы называют коллинеарными, если они параллельны одной прямой; нулевой вектор также считают коллинеарным любому вектору. Для ненулевых коллинеарных векторов один можно получить из другого умножением на число: b = ka. Если k положительно, векторы сонаправлены, а если отрицательно — направлены противоположно. Это связывает геометрическое положение векторов с простым условием на их координаты.

Основные понятия и операции над векторами

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, с каким объектом или действием связана задача. Затем сверьте обозначение и правило построения либо вычисления. Последний столбец помогает проверить, соответствует ли полученный результат основному свойству.

Разбор задач

Построение вектора

Условие. Даны точки A и B. Нужно изобразить AB, указать его начало и конец, определить длину и построить равный вектор с другим началом. Сначала важно не перепутать порядок букв: он задаёт направление. Равный вектор можно расположить отдельно, если сохранить длину и направление.

1. Проведите отрезок от A к B и поставьте стрелку в сторону B. Следовательно, A — начало вектора AB, B — его конец. Если поменять точки местами, получится противоположно направленный вектор BA.
2. Длина вектора равна длине отрезка AB: |AB| = AB. Чтобы найти численное значение, измерьте этот отрезок или используйте данные задачи. Без координат или заданной длины нельзя назвать конкретное число.
3. Выберите новую точку C и отложите из неё отрезок той же длины, параллельный AB и направленный так же. Обозначьте его конец D. Тогда CD = AB, поскольку совпали длина и направление.

Ответ. Начало AB — A, конец — B, длина равна расстоянию AB; равный вектор CD строится с другим началом при сохранении длины и направления. Например, если отрезок AB имеет длину 4 см, то CD тоже должен иметь длину 4 см. Измерять его нужно в том же масштабе.

Действия по координатам

Условие. Даны a = (2; −1; 3) и b = (−1; 4; 2). Найдите a + b, a − b и 2a − 3b. Координаты векторов складывают и вычитают по соответствующим позициям, а при умножении на число каждый компонент умножают на этот множитель. Такой порядок сохраняет направление и величину, заданные координатами.

1. Сложим соответствующие координаты: a + b = (2 + (−1); −1 + 4; 3 + 2) = (1; 3; 5). Каждая координата результата показывает суммарное изменение по одной оси.
2. Для разности вычтем координаты b из координат a: a − b = (2 − (−1); −1 − 4; 3 − 2) = (3; −5; 1). В первой координате вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
3. Сначала умножим векторы на числа: 2a = (4; −2; 6), а 3b = (−3; 12; 6). Затем вычтем второй результат из первого: 2a − 3b = (4 − (−3); −2 − 12; 6 − 6) = (7; −14; 0).

Ответ. a + b = (1; 3; 5), a − b = (3; −5; 1), 2a − 3b = (7; −14; 0). Проверяйте отдельно каждую координату, особенно знаки при вычитании. Нулевая третья координата в последнем ответе означает, что по третьей оси изменения взаимно компенсировались.

Коллинеарность и направление

Условие. Найдите k, при котором a = (k; 2; −4) и b = (3; 6; −12) коллинеарны, и определите, сонаправлены ли они. Для ненулевых коллинеарных векторов координаты должны быть пропорциональны с одним общим коэффициентом. Поэтому нельзя подбирать отдельный множитель для каждой координаты.

1. Сравним вторую координату: 6 = 3 · 2, значит, если b = tа, коэффициент t равен 3. Проверим третью координату: 3 · (−4) = −12, условие выполняется. Общий множитель согласуется с обеими известными координатами.
2. Теперь сравним первые координаты: 3k = 3, откуда k = 1. При этом a = (1; 2; −4), и действительно b = 3a. Значит, векторы коллинеарны.
3. Коэффициент пропорциональности равен 3, то есть он положителен. При положительном множителе направление сохраняется, поэтому векторы сонаправлены.

Ответ. k = 1; векторы коллинеарны и сонаправлены. Если бы общий коэффициент оказался отрицательным, векторы были бы направлены противоположно. Условие пропорциональности всех координат важно проверить целиком, а не по одной паре чисел.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Так происходит, когда вектор воспринимают как обычный отрезок и не учитывают стрелку; сравните также направления. Равенство верно лишь тогда, когда совпадают и длина, и направление.

Вторая ошибка — путать AB и BA. При смене порядка букв начало и конец меняются местами, поэтому направление разворачивается и получается противоположный вектор. Проверьте, от какой точки начинается стрелка и к какой она направлена.

Третья ошибка — складывать длины вместо самих векторов. Длины не сообщают, куда направлены перемещения, поэтому простая сумма модулей обычно не даёт длину суммы; используйте правило треугольника или складывайте координаты. Проверка: результат должен учитывать направления обоих слагаемых.

Четвёртая ошибка — при умножении на отрицательное число оставлять направление прежним. Это случается, если замечают изменение длины, но забывают о знаке множителя; отрицательный знак разворачивает вектор на 180°. Сверьте направление результата с исходным и проверьте, что его длина умножена на модуль числа.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны представления о направленных отрезках, параллельности и длине отрезка; координаты точек пригодятся при вычислениях по компонентам. В дальнейшем векторы помогают ввести координаты в пространстве и скалярное произведение. Векторные операции применяют в задачах о прямых и плоскостях, расстояниях, углах и движениях в пространстве. Поэтому освоенные правила становятся инструментом для решения многих пространственных задач.

Что запомнить

• Вектор задаётся направлением и длиной.
• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
• Сумма векторов строится по правилу треугольника или параллелограмма.
• Разность векторов — это сумма первого вектора с противоположным второму.
• При умножении на число длина вектора умножается на модуль этого числа.
• Нулевой вектор не имеет определённого направления и имеет длину 0.
• Коллинеарные векторы выражаются один через другой умножением на число.