З Задачи к главе VII

Определения и обозначения

Тело вращения — фигура в пространстве, полученная вращением плоской фигуры вокруг прямой, называемой осью. Его форма зависит от исходной фигуры и положения оси. Это определение помогает представить, как устроены цилиндр, конус и шар, и понять, откуда берутся их элементы.

Цилиндр — тело с двумя равными круглыми основаниями, расположенными в параллельных плоскостях. Радиус основания обозначают r, расстояние между основаниями — высота h, а отрезок боковой поверхности, соединяющий их окружности, — образующая; у прямого цилиндра она равна h. Осевое сечение проходит через ось цилиндра и даёт прямоугольник, поэтому в нём удобно изучать размеры тела.

Конус имеет круглое основание и вершину вне его плоскости. Радиус основания — r, высота h перпендикулярна плоскости основания, а образующая l соединяет вершину с точкой окружности основания. Осевое сечение конуса содержит вершину и диаметр основания; оно показывает взаимное расположение r, h и l.

Сфера — поверхность, все точки которой равноудалены от центра; шар — часть пространства, ограниченная этой поверхностью. Расстояние от центра до сферы называется радиусом R, а отрезок через центр с концами на сфере — диаметром, равным 2R. Различие нужно, чтобы не смешивать площадь поверхности сферы с объёмом шара.

Как это устроено

Чтобы определить тело по условию, ищите описание его формы и способа получения: два одинаковых круга и соединяющая их боковая поверхность указывают на цилиндр, круг и общая вершина — на конус. Указание на все точки, равноудалённые от центра, относится к сфере, а на заполненную внутреннюю область — к шару. Затем выпишите заданные величины и обозначьте неизвестные, иначе легко применить формулу не к тому элементу.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, потому что его стороны образованы высотой и диаметрами параллельных оснований: высота перпендикулярна основанию, а основания параллельны. У конуса сечение плоскостью через ось содержит две равные образующие, проведённые от вершины к концам диаметра. Поэтому треугольник равнобедренный, а его высота делит основание пополам — это часто упрощает вычисления.

В прямом круговом конусе высота опускается в центр основания, а радиус проведён к точке окружности. Эти отрезки перпендикулярны, а образующая соединяет их концы, так что они образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора l² = h² + r²; благодаря этому можно найти образующую, когда известны высота и радиус, или восстановить один из этих размеров.

Выбор формулы зависит от того, какая часть тела нужна в ответе. Боковая площадь описывает только боковую поверхность; полная включает также основания, которые являются внешней границей тела. Объём измеряет пространство внутри тела, поэтому для него применяют формулу объёма, а не складывают площади. Перед подстановкой полезно подписать, что именно обозначают найденные величины.

Составное тело разбейте на знакомые части: цилиндры, конусы или шары. Для объёма обычно складывают объёмы непересекающихся частей или вычитают объём вырезанной части, а для внешней площади учитывают только открытые наружу поверхности. В конце проверьте размерность: площадь выражается в квадратных единицах, объём — в кубических; несоответствие часто обнаруживает ошибку в формуле или вычислениях.

Основные тела вращения и их элементы

Сначала выберите столбец по виду тела и найдите строку с требуемой величиной. Если нужного элемента не хватает, используйте связь между элементами, прежде чем подставлять числа в формулу. Для составной фигуры сверяйте таблицу с условием: в площадь входят только поверхности, ограничивающие тело снаружи.

Разбор задач

Задача 1. Дан цилиндр радиуса 3 и высоты 8. Найти диагональ осевого сечения, площадь боковой поверхности и объём цилиндра. Осевое сечение нужно представить прямоугольником: его ширина равна диаметру основания, а высота — высоте цилиндра. После этого можно отдельно применить формулы для поверхности и объёма.

1. Вычислим диаметр основания: 2r = 2 · 3 = 6. Осевое сечение имеет стороны 6 и 8, поэтому его диагональ d найдём по теореме Пифагора.
2. d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит, d = 10.
3. Боковая площадь равна Sбок = 2πrh = 2π · 3 · 8 = 48π.
4. Объём равен V = πr²h = π · 3² · 8 = 72π.

Ответ: диагональ осевого сечения равна 10, боковая площадь — 48π, объём — 72π. Здесь диаметр понадобился только для сторон сечения, а в формулах цилиндра использован радиус. Площадь выражена в квадратных единицах, объём — в кубических.

Задача 2. В конусе радиус основания равен 6, а высота — 8. Найти образующую, боковую и полную поверхности, а также объём. Сначала найдём образующую: без неё нельзя вычислить боковую площадь. Радиус и высота перпендикулярны, поэтому для вычисления подходит теорема Пифагора.

1. l² = r² + h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, откуда l = 10.
2. Sбок = πrl = π · 6 · 10 = 60π.
3. Площадь основания равна πr² = 36π, поэтому Sполн = 60π + 36π = 96π.
4. V = ⅓πr²h = ⅓ · π · 36 · 8 = 96π.

Ответ: образующая равна 10, боковая площадь — 60π, полная площадь — 96π, объём — 96π. В формуле боковой поверхности использована образующая, а не высота конуса. Полная площадь отдельного конуса включает его боковую поверхность и одно основание.

Задача 3. В шаре радиуса 13 проведено сечение плоскостью на расстоянии 5 от центра. Найти радиус сечения и его площадь; определить, как изменится результат при удалении плоскости от центра. Перпендикуляр из центра к плоскости проходит через центр круга сечения. Вместе с радиусом шара и радиусом сечения он образует прямоугольный треугольник.

1. Обозначим радиус сечения через ρ, расстояние до плоскости — через d = 5. Тогда ρ² + d² = R².
2. ρ² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, поэтому ρ = 12.
3. Площадь круга сечения равна πρ² = 144π.
4. Если плоскость отодвигать от центра, d растёт, а ρ² = R² − d² уменьшается. Значит, радиус и площадь круга сечения становятся меньше; при d = 13 сечение вырождается в точку.

Ответ: радиус сечения равен 12, его площадь — 144π. Сечение существует, только если расстояние от центра до плоскости не больше радиуса шара. Эта проверка позволяет сразу заметить невозможные данные в условии.

Типичные ошибки

Подстановка диаметра вместо радиуса приводит к неверным значениям площади и объёма: радиус вдвое меньше диаметра, а в формулах он часто возводится в квадрат. Путаница возникает, потому что осевое сечение показывает именно диаметр основания. Перед вычислениями подпишите r и 2r отдельно и проверьте, какая величина стоит в формуле.

Высоту конуса иногда называют образующей или подставляют вместо неё в формулу боковой площади. Высота идёт перпендикулярно основанию, тогда как образующая наклонена и является боковой стороной осевого сечения. Если даны радиус и высота, найдите l по теореме Пифагора; проверка l > h при r > 0 помогает выявить ошибку.

Можно ошибочно сложить площади боковых поверхностей и всех оснований составных тел, не проверив, какие части видны снаружи. Основание, соприкасающееся с другим телом, оказывается внутри конструкции и не ограничивает её внешнюю поверхность. Нарисуйте схему границы тела и отмечайте только открытые участки; для объёма, напротив, учитывайте внутреннее заполненное пространство.

Сферу путают с шаром и выбирают формулу площади вместо формулы объёма или наоборот. Причина — в обычной речи эти слова часто используют как близкие по смыслу, но в геометрии они обозначают разные объекты. Уточните, спрашивают ли о поверхности или о внутренней области, и проверьте единицы: квадратные либо кубические.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны свойства прямоугольного и равнобедренного треугольников, теорема Пифагора и формулы площадей плоских фигур. Именно эти знания позволяют разбирать осевые сечения и находить недостающие размеры тел. Также пригодятся формулы объёмов, поскольку площадь поверхности и объём описывают разные характеристики.

Тела вращения связывают планиметрию с пространственной геометрией: знакомые фигуры в сечениях помогают решать задачи о пространственных объектах. Эти приёмы применяются при изучении площадей поверхностей, объёмов и сечений многогранников. Они также полезны в задачах, где несколько геометрических тел соединены или одно вырезано из другого.

Что запомнить

• Осевое сечение помогает заменить пространственную задачу на планиметрическую.
• У цилиндра образующая равна высоте.
• В конусе радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник.
• Площадь полной поверхности состоит из боковой поверхности и площадей всех оснований.
• Сфера — поверхность, а шар — тело, ограниченное сферой.
• В задачах на сечение шара расстояние от центра до плоскости не превышает радиус шара.
• Единицы площади и объёма должны соответствовать искомой величине.