90. Равенство фигур

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек плоскости. Фигурой может быть отдельный отрезок, многоугольник или сложная фигура, составленная из нескольких частей. Это понятие позволяет описывать и простые объекты, и целые объединения линий и областей.

Равными называют фигуры, которые можно совместить так, чтобы каждая точка одной совпала с точкой другой, и наоборот. Недостаточно совместить лишь часть или границу: совпасть должна вся фигура. Такое определение помогает сравнивать объекты целиком, не полагаясь на впечатление от их рисунка.

Наложение фигур — способ проверки, при котором одну фигуру перемещают, например сдвигают или поворачивают, и смотрят, совпадёт ли она с другой. Форму и размеры при этом не меняют: фигуру нельзя растягивать или сжимать. Наложение удобно мысленно представить или выполнить на прозрачной бумаге.

Равные многоугольники — многоугольники, которые при наложении полностью совпадают. Тогда каждая вершина совпадает с соответствующей вершиной, а стороны и углы — с соответствующими сторонами и углами. Это нужно, чтобы при сравнении многоугольников понимать, какие именно элементы следует называть соответствующими.

Как это устроено

Сравнивать фигуры только по отдельным размерам неудобно: у фигуры много частей, и совпадение нескольких из них ещё ничего не говорит об остальных. Например, можно найти у двух фигур равные стороны, но их продолжения и остальные участки границы будут расположены по-разному. Поэтому определение равенства требует проверить всю фигуру — совпадают ли все её точки при наложении.

Для проверки сначала выбирают точки, которые должны соответствовать друг другу, например вершины многоугольников. Затем совмещают выбранную пару точек и поворачивают или сдвигают одну фигуру, чтобы проверить, совпадут ли остальные точки и части. Если совпал только участок, а где-то осталась лишняя часть или обнаружился пробел, фигуры не равны. Такой порядок не позволяет принять за совпадение фигур совпадение одного фрагмента.

Совпадение нескольких сторон или углов само по себе недостаточно, потому что эти элементы не всегда задают расположение всех остальных частей. У составных фигур могут различаться выступы и выемки, даже если некоторые длины границ одинаковы. У треугольников действуют специальные признаки: например, если попарно равны три соответствующие стороны, треугольники равны. Здесь вывод основан не на случайном совпадении отдельных элементов, а на свойстве именно треугольника.

Если фигуры равны, при наложении совпадают их соответствующие точки и линии. Значит, совпадающие стороны имеют одинаковую длину, а совпадающие углы — одинаковую величину. Это полезное следствие: когда равенство фигур уже установлено, можно сравнивать их части, не измеряя каждый элемент заново.

Равные фигуры имеют одинаковые форму и размеры, но не обязаны изначально лежать на плоскости одинаково. Одна может быть сдвинута, повёрнута или обращена иначе относительно другой. Возможность таких перемещений и объясняет, почему внешний вид рисунка сам по себе не определяет равенство: важно, получится ли полное совмещение без изменения размеров.

Как распознавать равные фигуры

Сначала решите, что именно вы сравниваете: всю фигуру или только отдельные элементы. Для доказательства равенства требуется полное совпадение; после этого можно делать вывод о соответствующих частях. Равенство некоторых сторон или углов используйте как подсказку, но не как автоматическое доказательство.

Разбор задач

Фигуры на клетчатой бумаге

Даны две фигуры на клетчатой бумаге. Можно ли считать их равными, если одну удаётся сдвинуть и повернуть так, чтобы она полностью совпала с другой? Проверим условие по определению равных фигур: требуется не сходство очертаний, а совпадение всех точек. Клетки помогают проследить, не изменились ли длины и форма при перемещении.

1. Выберем на первой фигуре заметную точку, например вершину, и совместим её с подходящей точкой второй фигуры.
2. Повернём и сдвинем фигуру, не растягивая и не сжимая её. Сопоставим остальные вершины и линии границы.
3. Проверим весь контур: у каждой части первой фигуры должна найтись совпадающая часть второй, без выступов и незакрытых участков.

Ответ: фигуры равны, если после сдвига и поворота совпадают все их точки. То, что до перемещения они расположены по-разному, выводу не мешает.

Треугольники с равными сторонами

У двух треугольников попарно равны соответствующие стороны. Нужно объяснить, почему треугольники равны, и назвать совпадающие элементы. Одного рассуждения «несколько сторон одинаковы» для произвольных фигур было бы мало, но здесь применим признак равенства треугольников по трём сторонам.

1. Сопоставим стороны треугольников попарно, как задано в условии.
2. Все три пары соответствующих сторон равны, значит, по признаку равенства треугольников треугольники равны.
3. По определению равных фигур один треугольник можно наложить на другой целиком. При этом совпадут соответствующие вершины, стороны и углы.

Ответ: треугольники равны по трём сторонам. При наложении соответствующие стороны и вершины совпадут; соответствующие углы также окажутся равными.

Составные многоугольники с равными периметрами

Два составных многоугольника имеют одинаковые периметры. Можно ли заключить, что они равны? Периметр — это общая длина границы, поэтому он сообщает одно числовое значение, но не описывает, как граница изгибается и где находятся части фигуры. Для равенства же необходимо полное совмещение.

1. Представим два прямоугольника со сторонами 1 и 5 и 2 и 4 единицы. Периметр каждого равен 12 единицам.
2. Сравним размеры: у первого прямоугольника стороны 1 и 5, у второго — 2 и 4. Наложением совместить их полностью нельзя: соответствующие длины сторон различны.
3. Значит, равенство периметров не гарантирует равенства фигур. Для составных многоугольников тем более нужно проверять контур целиком, а не только его общую длину.

Ответ: заключить о равенстве нельзя. Прямоугольники 1 × 5 и 2 × 4 имеют одинаковые периметры, но не равны, поэтому одного совпадения периметра недостаточно.

Типичные ошибки

Считать фигуры равными только потому, что на рисунке они расположены одинаково, — ошибка: одинаковое положение не доказывает совпадения размеров. Её допускают, принимая внешний вид за проверку. Мысленно сдвиньте или поверните одну фигуру и проверьте совпадение точек целиком.

Совпадение нескольких сторон или углов не означает, что совпала вся фигура. Отдельные элементы привлекают внимание, и легко забыть о других частях контура. Проверьте все вершины и границы; для вывода используйте подходящий признак или полное наложение.

Равенство площадей не означает равенство фигур: одинаковая площадь может соответствовать разной форме. Площадь измеряет величину области, а не задаёт её очертания. Спросите себя, можно ли совместить фигуры целиком, а не только получить одно и то же числовое значение.

При наложении нельзя менять размеры фигуры растяжением или сжатием. Такая операция может помочь подогнать один объект к другому, но изменяет его и не является простым перемещением. Для самопроверки убедитесь, что применяете лишь сдвиг или поворот и сохраняете длины и форму.

Связь с другими темами

Для сравнения фигур нужны понятия геометрической фигуры, отрезка, угла и многоугольника, а также умение сравнивать их элементы. Идея наложения опирается на изученное равенство отрезков и углов, а для треугольников связана с признаками равенства. Позже эта тема пригодится при изучении площадей: равные фигуры имеют равные площади, а разбиение на части помогает сравнивать сложные фигуры. При этом равенство площадей не заменяет проверку равенства фигур.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совмещаются при наложении.
• Сдвиг и поворот не меняют равенства фигур.
• Фигуры могут быть равными, даже если на рисунке расположены по-разному.
• У равных фигур совпадают соответствующие точки и элементы.
• Равенство отдельных элементов не всегда доказывает равенство фигур.
• Равенство площадей не обязательно означает равенство фигур.